¿La propiedad de los haces con conexiones en la variedad abeliana no se cumple para el grupo aditivo o multiplicativo?

Question

Esta pregunta es la continuación de dos de mis preguntas anteriores, véase aquí y aquí .

1. Dejemos que $A$ sea una variedad abeliana sobre un campo $k$ de la característica $0$ . ¿Cómo puedo demostrar, sin utilizar métodos trascendentales, que si $\nabla$ es una conexión integrable en un haz vectorial $L$ en $A$ entonces $(L, \nabla)$ proviene de un $G$ -con conexión para algún subgrupo algebraico abeliano $G \subset GL(n)$ ? Y el corolario de que existe un $\nabla$ -bandera estable $$L = L_n \supset L_{n-1} \supset \dots \supset L_1 \supset 0$$ con $\text{rank }L_i = i$ ? Es fácil de demostrar para $k = \mathbb{C}$ mirando la monodromía de $(L, \nabla)$ y el caso general se sigue por el principio de Lefschetz, pero quiero encontrar una prueba diferente que no utilice $\mathbb{C}$ en absoluto.

2. Tengo curiosidad por saber si podemos, de forma similar, demostrar que si $k$ es un campo algebraicamente cerrado (de cualquier característica) entonces el grupo fundamental algebraico de $A$ es abeliano (dado un recubrimiento étale conectado $E \to A$ definen una estructura de grupo algebraica sobre el grupo $G$ de pares $(a, \tau)$ , donde $a \in A$ y $\tau$ es una elevación del automorfismo de traslación $T_a: A \to A$ sea un automorfismo de $E$ etc.).

¿Se cumple la propiedad anterior de los haces con conexiones en una variedad abeliana para el grupo aditivo o multiplicativo?

Pensamientos. Sospecho que no, y bastaría con construir un rango $2$ haz vectorial en la línea afín sobre $\mathbb{C}$ con una conexión $\nabla$ tal que $L$ no tiene $\nabla$ -de rango $1$ para mostrar esto. Pero no estoy muy seguro de cómo hacerlo. ¿Podría alguien ayudarme? Gracias de antemano.

Answer 1

No, falla para el grupo aditivo y multiplicativo ya que no son compactos. Consideremos la ecuación diferencial de la función de Airy $d^2 f/dx^2 = x f$ . Podemos escribirlo en forma de primer orden como $df/dx=u$ , $du/dx = x f$ . Esto se convierte en un haz vectorial con conexión al tomar el haz vectorial como un rango $2$ paquete libre y la conexión a ser $\nabla (f,u) = (\frac{df}{dx}-u, \frac{du}{dx}-xf)$ para que las secciones planas sean lo mismo que las soluciones de la ecuación diferencial.

Demostraremos que el haz vectorial no tiene bandera invariante. Si lo tuviera, tendría algún subfondo de la forma $\nabla (g) = \frac{dg}{dx} - p(x) f$ para un polinomio $p(x)=x$ que tendría una sección invariante de la forma $g(x)= e^{ \int p(x)}$ Dado que ese haz vectorial con conexión es un subfondo de éste por algún mapa polinómico $(f(x),u(x))=(a(x)g(x), b(x)g(x))$ para los polinomios $a$ y $b$ se deduce que existe una solución a la ecuación diferencial de Airy $d^2 f/dx^2 = x f$ de la forma $f(x)=a(x) e^{\int p(x)}$ . Pero no existe tal solución, como podemos ver en las fórmulas asintóticas de las dos soluciones de la ecuación de Airy, que no coinciden.

Esto da un haz vectorial de rango dos con conexión plana generada por $f$ y $df/dx$ y se puede ver que es irreducible (porque la tasa de crecimiento de una solución es $e^{x^{3/2}}$ pero cualquier solución de una ecuación diferencial de rango uno crece como una exponencial de una función polinómica). Por supuesto, esto también se remonta al grupo multiplicativo.

Su segunda pregunta, sobre el grupo fundamental etale, falla para los grupos aditivos y multiplicativos en característica $p$ por la misma razón. De hecho, hay un ejemplo perfectamente análogo: la gavilla de Airy.