Factorización de $(1+x+x^2+x^3)^2 - x^3$

Question

Factorizar : $(1+x+x^2+x^3)^2 - x^3$

He intentado ampliarla pero la ecuación será aún más complicada, ¿alguien puede darme alguna pista para resolverla sin ampliarla (o es necesario ampliarla)?

Answer 1

Una forma extraña pero eficiente que utiliza la fórmula de la serie geométrica 3 veces:

$$(1+x+x^2+x^3)=\frac{1-x^4}{1-x}$$ Su polinomio es entonces: $$p(x)=(1+x+x^2+x^3)^2-x^3=\frac{(1-x^4)^2-x^3(1-x)^2}{(1-x)^2}$$ $$=\frac{1-2x^4+x^8-x^3+2x^4-x^5}{(1-x)^2}=\frac{1-x^3-x^5+x^8}{(1-x)^2}=$$ $$=\frac{(1-x^3)(1-x^5)}{(1-x)(1-x)}=(1+x+x^2)(1+x+x^2+x^3+x^4)$$

Answer 2

$(1+x+x^2+x^3)^2-x^3 = (1+x+x^2)^2 + 2x^3(1+x+x^2) + x^3(x-1)(1+x+x^2) = (1+x+x^2)(1+x+x^2+x^3+x^4)$