¿Cómo demostrar que esta matriz es definida positiva?

Question

Dejemos que $\mathbf{A}=\begin{pmatrix}a^2+b^2 & b^2 & b^2 & ... & b^2 \\ b^2 & a^2+b^2 & b^2 & ... & b^2\\ \vdots & b^2 & \ddots & & b^2 \\ b^2 & \dots & & & a^2+b^2 \end{pmatrix}$ , donde $a,b\ne 0$ . ¿Cómo puedo estar seguro de que esta matriz es definida positiva?

Se agradecería cualquier ayuda.

Answer 1

Observe que $$x^TAx=\sum_{j=1}^n(a^2+b^2)x_j^2+2\sum_{i\lt j\leqslant n}b^2x_ix_j=b^2\left(\sum_{j=1}^nx_j\right)^2 +a^2\sum_{j=1}^nx_j^2\geqslant a^2\sum_{j=1}^nx_j^2 $$ que es positivo a menos que $x=0$ . Obsérvese que sólo tenemos que exigir que $a\neq 0$ , $b$ puede ser cualquier número real.

Answer 2

Desde $\mathbf{A}=a^2 \mathbf{I} + b^2 \mathbf{J}$ donde $\mathbf{I}$ es una matriz de identidad y $\mathbf{J}$ tiene todos los unos, $$z^T \mathbf{A} z = z^T(a^2 \mathbf{I} + b^2 \mathbf{J})z = a^2 z^T \mathbf{I} z + b^2 z^T \mathbf{J} z.$$ Si $z = (z_1, \ldots, z_n) \neq (0, \ldots, 0)$ entonces $$z^T I z = z_1^2 + \ldots z_n^2 > 0$$ y $$z^T J z = (z_1 + \ldots + z_n)^2 \ge 0.$$ Por lo tanto, $$a^2 z^T \mathbf{I} z + b^2 z^T \mathbf{J} z > 0.$$

Answer 3

Tomar la matriz 2*2 que está en la izquierda, la parte superior. Demostrar que es positiva definida. Después de eso, utilice la inducción.