Subcampo de campos de funciones racionales

Question

Dejemos que $k\subset F\subseteq k(x_{1},x_{2},...,x_{n})$ donde $k$ y $F$ son los campos y $x_{1},x_{2},...,x_{n}$ son trascendentales sobre $k$ . ¿Podemos expresar $F$ en términos o función de $x_{1},x_{2},...,x_{n}$ ?. Gracias

Answer 1

La ampliación del campo $k(x_1,...,x_n)/k$ es de generación finita, por lo que también lo es $F/k$ (ver $\S 11.4$ de estas notas ). Es decir, hay un número finito de funciones racionales $f_1(x_1,\ldots,x_n),\ldots,f_m(x_1,\ldots,x_n)$ tal que $F = k(f_1,\ldots,f_m)$ .

Cuando $n = 1$ es además el caso de que siempre podemos tomar $m = 1$ y luego $F = k(f)$ es de nuevo un campo de funciones racionales: Teorema de Luroth . Para $n > 1$ un subcampo de un campo de funciones racional no tiene por qué ser racional, y no se me ocurre nada bueno que decir sobre la extensión $F/k$ excepto que está generada finitamente - al menos no sin traer algo de geometría algebraica bastante sofisticada.