Es $f_1$ , $f_2$ y $f_3$ son linealmente independientes?

Question

Dejemos que $\mathcal{C}(\mathbb{R})$ sea el $\mathbb{R}$ -espacio vectorial de funciones continuas de $\mathbb{R}$ a $\mathbb{R}$ . Dejemos que $a_1$ , $a_2$ , $a_3$ sean números reales distintos. Para $i = 1, 2, 3$ , dejemos que $f_i \in \mathcal{C}(\mathbb{R})$ sea la función $f_i(t)=e^{a_it}$ . ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es cierta?

(A) $f_1$ , $f_2$ y $f_3$ son linealmente independientes

(B) $f_1$ , $f_2$ y $f_3$ son linealmente dependientes.

(C) $f_1$ , $f_2$ y $f_3$ forman una base de $\mathcal{C}(\mathbb{R})$ .

Mi intento: mi respuesta es la opción A y C, porque si comprobamos la independencia lineal que es,,,,, $c_1f_1 + c_2f_2 + c_3f_3 =0$ , $f_i(t)=e^{a_it} \neq 0$ donde $c_1= c_2 = c_3= 0$ así que $f_1$ , $f_2$ y $f_3$ formará una base de $\mathcal{C}(\mathbb{R})$ que significa $f_1$ , $f_2$ y $f_3$ son linealmente independientes por lo que la opción correcta es la A y la C,,,

Es mi respuesta es correcta o incorrecta. pliz verificado mi respuesta y dime la solución,

Answer 1

No, la respuesta correcta es A. No lo hacen por una base de $\mathcal{C}(\mathbb{R})$ . Por ejemplo, no se puede expresar la identidad como una combinación lineal de sus funciones.