Demostrar que $\mathbb{E}[g(X)] \le \mathbb{E}[ g(Y)]$ donde $g$ es convexo, $X$ es binomial y $Y$ es poisson

Question

Dejemos que $X$ sea una variable aleatoria binomial con parámetro $\left(n,p\right)$ y que $Y$ sea una variable aleatoria de Poisson con parámetro $np$ . Dejemos que $g$ sea una función convexa. Demostrar que $$\mathbb{E}[g(X)] \le \mathbb{E}[g(Y)]$$

¿Cuál es la estrategia aquí? He pensado en la desigualdad de Jensen, y que la Binomial puede ser aproximada por Poisson. Pero no sé cómo proceder. La pista me pide que considere un caso especial en el que $X\sim \text{Bin}(1,p)$ y $Y\sim\text{Bin}(2, p/2)$ . Lo he resuelto, pero no veo cómo ayuda eso.

Answer 1

Una pista: $^1$ generalizar su caso especial a $$ X \sim \operatorname{Bin}(n,p), \qquad Y' \sim \operatorname{Bin}\left(k n,\frac{p}{k}\right) $$ para cualquier número entero arbitrario $k\geq 1$ .

A continuación, utilice el Teorema del límite de Poisson como $k\to\infty$ .

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$^1$ Si lo intentas durante un rato y sigues atascado, deja un comentario y completaré los detalles y elaboraré una derivación completa.