Solución no exacta de la EDO

Question

Pregunta:

$$ \text{Solve:} \; \; (3xy+y^2)dx+(x^2+xy)dy=0$$

Solución hasta ahora:

$$ M = 3xy+y^2 \; \text{and} \; N= x^2+xy $$ $$ \frac{\partial{M(x,y)}}{\partial{y}} = 3x + 2y$$ $$ \frac{\partial{N(x,y)}}{\partial{x}} = 2x + y$$ $$ \implies \frac{\partial{N}}{\partial{x}} -\frac{\partial{M}}{\partial{y}} \neq 0 $$ Por lo tanto esta no es una ecuación exacta por lo que debemos aplicar un factor integrador tal que: $$ \mu(x,y)M (x,y)+ \mu(x,y) N (x,y) = 0 $$ que es una ecuación exacta lo que significa que esto es equivalente a resolver la ecuación: $$ \frac{\partial{\mu(x,y)M(x,y)}}{\partial{y}} = \frac{\partial{\mu(x,y)N(x,y)}}{\partial{x}} $$ Ahora reordena esto en una forma más amigable desde el punto de vista computacional: $$ (-N(x,y)) \frac{\partial{\mu}}{\partial{x}} + M(x,y)\frac{\partial{\mu}}{\partial{y}} = \bigg{(} \frac{\partial{N}}{\partial{x}} -\frac{\partial{M}}{\partial{y}} \bigg{)} \mu $$ $ \text{define:} \; \mu = \text{integrating factor} $

Donde estoy atascado:

$ \mu (x,y) = \mu(x) $ no funcionó $ \mu (x,y) = \mu(y) $ no funcionó $ \mu (x,y) = \mu(x+y) $ casi funcionó pero no lo hizo

Esta suposición y prueba de un factor integrador es demasiado difícil para mí. ¿Cómo se consigue la intuición para encontrarlo? ¿O estoy utilizando una técnica totalmente equivocada? Cualquier idea que se me ocurra será muy apreciada.

Answer 1

Se nos da

$$(3xy+y^2)dx+(x^2+xy)dy=0$$

Reordenar la ecuación diferencial para

$$\frac{dy}{dx}=-\frac{3xy+y^2}{x^2+xy}$$

entonces deja que $$y=vx,\quad \frac{dy}{dx}=v + x\frac{dv}{dx}$$

La ecuación diferencial se convierte en

$$v + x\frac{dv}{dx}=-\frac{3x^2v+v^2x^2}{x^2+x^2v}$$ $$v + x\frac{dv}{dx}=-\frac{3v+v^2}{1+v}$$ $$x\frac{dv}{dx}=-\frac{4v+2v^2}{1+v}$$ $$\frac{1+v}{4v+2v^2}\,dv=-\frac{1}{x}\,dx$$ $$\frac{2+2v}{2v+v^2}\,dv=-\frac{4}{x}\,dx$$

Integrar ambas partes.

En general, una estrategia común es reescribir la ecuación diferencial de primer orden como una ecuación homogénea de la forma

$$\frac{dy}{dx}=f(x,y)$$

a partir de la cual una sustitución común es $y=vx$ . La ecuación de primer orden puede entonces resolverse como una ecuación separable después de sustituir los valores de $y$ y $dy$ y luego simplificar.

Answer 2

$$\text{Solve:} \; \; (3xy+y^2)dx+(x^2+xy)dy=0$$

Multiplicar por el factor de integración que depende sólo de $x$ : $$(3xy+y^2)\mu(x)dx+(x^2+xy)\mu(x)dy=0$$ $$Mdx+Ndy=0$$ $$M_y=\mu(x)(3x+2y), \; $$ $$N_x=\mu '(x) (x^2+xy)+\mu(x) (2x+y)$$ Para ser exactos lo necesitamos: $$\mu(x)(3x+2y)=\mu '(x) (x^2+xy)+\mu(x) (2x+y)$$ $$ \implies \frac {\mu '(x)}{ \mu (x)}=\frac {1}{x}$$ $$\ln |\mu (x )|=\ln x \implies \mu(x)=x$$

Multiplicar por el factor de integración que depende sólo de $x$ y $\mu(x)=x$ : $$(3x^2y+y^2x)dx+(x^3+x^2y)dy=0$$ $$Mdx+Ndy=0$$ $$M_y=3x^2+2yx,\,\, N_x=3x^2+2xy$$ Es exacto... ¿Tal vez te equivocaste en alguna parte? Vuelve a hacer los cálculos para el factor integrador.

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De otra manera:

$$\text{Solve:} \; \; (3xy+y^2)dx+(x^2+xy)dy=0$$ $$(3x^2y+y^2x)dx+(x^3+x^2y)dy=0$$ Reordena los términos: $$(3x^2ydx+x^3dy)+(y^2xdx+x^2ydy)=0$$ $$d(x^3y)+\frac 12(2y^2xdx+2x^2ydy)=0$$ Ahora, es exacto: $$d(x^3y)+\frac 12d(xy)^2=0$$ Integrar: $$\boxed {2x^3y+(xy)^2=K}$$

Answer 3

Pista: Puedes intentar convertirla en una ecuación homogénea. Escríbela en la forma

$$\frac{dy}{dx} = -\frac{y(3+\frac{y}{x})}{x(1+\frac{y}{x})} $$

A continuación, utilice la sustitución $v=\frac{y}{x}$ . ¿Puedes llevarlo desde aquí?

Edición: Hay una buena justificación para este tipo de sustitución. Viene del hecho de que las funciones $M(x,y)=3xy+y^2$ y $N(x,y)=x^2+xy$ son polinomios homogéneos de grado $2$ .

Un polinomio $P$ de $n$ variables se dice que es homogénea de grado $d$ siempre que $P(\lambda x_1,\lambda x_2,\dots,\lambda x_n) = \lambda^d P(x_1, x_2,\dots,x_n)$ . Aquí, tenemos que $d=2$ y $n=2$ para $M$ y $N$ .

La idea de la sustitución es reducir el número de variables. Ten en cuenta que siempre puedes expresar la ecuación como

$$\frac{dy}{dx} = -\frac{3xy+y^2}{x^2+xy} =F(x,y)$$

Para reducir el número de variables de $F$ de $2$ a $1$ , se utiliza el hecho de que $M$ y $N$ son homogéneos y escriben:

$$ F(\lambda x,\lambda y) = -\frac{M(\lambda x,\lambda y)}{N(\lambda x,\lambda y)} = -\frac{M(x,y)}{N(x,y)} $$

Dejar $\lambda = \frac{1}{x} $ logra precisamente esto. Así que tendríamos en su lugar:

$$\frac{dy}{dx}= F(1, \frac{y}{x}) = f(\frac{y}{x})=-\frac{3(\frac{y}{x})+(\frac{y}{x})^2}{1+\frac{y}{x}}$$

Se puede pensar ingenuamente que sólo se sustituye $x$ por $1$ y $y$ por $\frac{y}{x}$ . La función $f$ sólo depende de una variable, pon esta nueva variable como $v = \frac{y}{x}$ . A continuación, puede proceder como lo haría normalmente.