Integrabilidad respecto a una densidad de probabilidad

Question

Dada una densidad de probabilidad

$$f_Y= \frac{1}{(y+1)^2}*1_{[0,\infty)}$$ Donde 1 es la función indicadora

Es la variable aleatoria $Y$ ¿integrable? En otras palabras, ¿es $E[Y]<\infty$ .

Me confunde que, si realizo la integral de 0 a infinito, la integral se convierte en infinita. Sin embargo, la probabilidad es 0 para $Y->\infty$ . Por lo tanto, el $Y$ no puede alcanzar el infinito como valor, y si la densidad no puede alcanzar el infinito y $Y$ tampoco, la expectativa debe estar acotada. ¿Cómo puedo calcular $E[Y]$

Answer 1

Tienes toda la razón, $$E[Y] = \int_0^\infty \frac{y}{(y+1)^2} dy = +\infty$$ Y sí, $Y$ es finito casi con toda seguridad. Pero no hay ninguna razón para que la expectativa esté acotada.

Es cierto que si la expectativa está acotada entonces la variable aleatoria es finita casi con seguridad. Pero no es cierto al revés Y arriba es un ejemplo para ello.