¿Cuál es $n!+10$ un cuadrado perfecto?

Question

¿Cuando $n!+10$ es un cuadrado perfecto? Yo he probado y se halló que solamente para $n=3$ $n!+10$ un cuadrado perfecto. ¿Hay alguna otra solución a esto?

Answer 1

En % base $10$, los dígitos de un cuadrado perfecto deben terminar en % o $1,  4,  6,  9, 00$ $25$. Sin embargo, $n\geq 10$ $n!$ es divisible por $100$ y las dos últimas cifras de $n!+10$ $10$. Por lo tanto, $n!+10$ no puede ser un cuadrado perfecto para $n\geq 10$. Y sólo se puede comprobar directamente que $1\leq n\leq 10$, sólo $n=3$ da un cuadrado perfecto.

Answer 2

Un cuadrado perfecto es congruente a $0$ o $1 \bmod 4$.

Si $n\ge 4$ y $n! \equiv 0 \bmod 4$ y así $n!+10 \equiv 2 \bmod 4$ no son un cuadrado.

El caso $n \le 3$ trata con la mano.