Todavía nadie ha dado una combinatoria forma de visualizar $e,$ así que he pensado que me gustaría agregar uno.
La constante de $\pi$ es, por supuesto, una relación, que de la circunferencia de un círculo a su diámetro. Si los correspondientes coeficientes de polígonos regulares se utilizan como punto de partida, entonces $\pi$ se define tomando el límite cuando el número de lados del polígono se extiende hacia el infinito. En forma similar, la constante $e$ es el límite de una relación de un determinado parámetro se toma hasta el infinito.
Imaginar una lotería en la que, para entrar, usted debe presentar una secuencia de 20 $de$ los números en el rango de $1 a$ 20$.$ Orden de asuntos, y los números pueden ser utilizados varias veces. Así, por ejemplo, puede enviar la totalidad de los $1\text{s}$ si te gusta. El número ganador podría ser cualquier de $20^{20}$ posibilidades.
Ahora imagina que un similar de la lotería se ha constituido en una configuración regional diferente, excepto que, debido a la superstición local, el uso de la cantidad de $13$ ha sido prohibido. Entradas de la lotería todavía consisten de $20$ los números en el rango de $1 a$ a $a 20$, pero sólo $19$ número de opciones están disponibles, dando a $19^{20}$ posibles números ganadores. Claramente es más fácil ganar la segunda lotería, pero ¿por cuánto? La respuesta es la relación de $(1/19^{20})/(1/20^{20})=20^{20}/19^{20}\approx2.79.$ Usted es $2.79$ veces más probabilidades de ganar la segunda lotería como la primera.
Para generalizar, imaginar la comparación de una lotería en la que las presentaciones consisten en $n$ los números en el rango de $1 a$ a $n$, con una lotería en la que uno de los números en el rango de $1 a$ a $n$ es de mala suerte y no puede ser utilizado. La probabilidad de ganar la segunda lotería es mayor por un factor de $n^n/(n-1)^n.$ El valor límite de este cociente $$ n tiende a infinito es $e\approx2.718281828$.
¿Qué tiene esto que ver con las tasas de crecimiento exponencial de los procesos? Imagina una cantidad que sube por una relación fija cada año, digamos, $72\%.$ Supongamos que hemos preferido meses de uso como unidades, en lugar de años. Es incorrecto basta con dividir la tasa anual por $12$ para obtener $72\%/12=6\%$ crecimiento mensual, o, si lo hiciéramos, estaríamos describiendo un proceso diferente. La razón por la que es diferente es la capitalización. El crecimiento de $6\%$ por mes, el crecimiento por un factor de $1.06$ de cada mes. En dos meses, esto se traduce en el crecimiento por un factor de $1.06\times1.06=1.1236$ o un aumento de $12.36\%,$, que es más grande que $2\times6\%=12\%$ desde $6\%$ de la cantidad obtenida en el primer mes crece por $6\%$ en el segundo mes. Del mismo modo, en el transcurso de un año, el factor de aumento es de $1.06^{12}\approx2.0122,$ que se traduce a $101.22\%$ de crecimiento por año en vez de $72\%.$
Más generalmente, si preferimos utilizar el tiempo en unidades de $1/$ n años, un aumento de $72\%/n$ cada $1/$ n años es más grande que un aumento de $72\%$ de cada año a causa de la capitalización. Específicamente, corresponde a crecimiento por un factor de $(1+0.72/n)^n$ de cada año, en la cual, si se calcula para un determinado $n,$ es mayor que $72\%$ por año. Por otra parte, si hacemos la unidad de tiempo más pequeña de $n$ más grande, el crecimiento anual se hace más grande debido a que el efecto de composición consigue mejorado.
En el cálculo nos gusta hablar acerca de instantánea de las tasas de cambio, que consiste en hacer que el intervalo de tiempo durante el cual el cambio se mide arbitrariamente pequeño. Si hacemos esto en nuestro problema, tomando el límite de $$ n tiende a infinito de $(1+0.72/n)^n,$ maximizar el efecto de composición, la obtención de un factor de crecimiento de $2.05443,$ o $105.443\%$ por año. La limitación del factor de crecimiento de $2.05443$ resulta igual a $e^{0.72}.$
Para relacionar este tema con la combinatoria problema, imagina una cantidad que se duplica cada año, es decir, que se incrementa en $100\%$ por año. Si por el contrario nos división este de $100\%$ de más de $n$ intervalos de tiempo iguales, obtenemos un factor de crecimiento de los $(1+1/n)^n=(n+1)^n/n^n.$ Como $$ n tiende a infinito, esto tiene el mismo valor de limitación como $n^n/(n-1)^n,$ es decir $e.$ Por lo tanto, debido a que estamos compuestos en forma arbitraria intervalos cortos de tiempo, se crece por un factor de aproximadamente $2.718281828$ por año, en lugar de por un factor de 2$.$
Curiosamente, hay una relacionada con la combinatoria problema en que $e$ aparece. Imaginar, una vez más, una lotería en la que $20$ los números en el rango de $1 a$ 20 $$ debe ser elegido. Pero en esto de la lotería de todos los $20$ los números deben ser utilizados. Así que nuestra selección de número se reduce a la elección de una permutación de la secuencia de $1,2,3,\ldots,20.$ Ahora imagine una similar de la lotería con el extra estipulación de que el primer número no puede ser de $1,$ el segundo número no puede ser de $2,$ el tercer número no puede ser de $3,$ y así sucesivamente. Por ejemplo una permutación se llama un trastorno. Claramente hay menos alteraciones de permutaciones, por lo que el segundo de la lotería es más fácil ganar. Una vez más, la probabilidad de ganar el segundo de la lotería es de aproximadamente $e$ veces más grande que la probabilidad de ganar el primer lugar.
