Entender la derivación de los números catalanes

Question

He encontrado una derivación para encontrar el enésimo número catalán $C_n$ utilizando funciones generadoras en el libro Diskrete Strukturen, Band 1 (Steger 2007, p.178).

Dada es la función recursiva $C_0 := 1$ , $C_n := \sum_{k=1}^n C_{k-1}C{n-k} \;\;\; (\forall n \geq 1)$ .

La primera parte de la prueba muestra cómo obtener la igualdad:

$$ C_n = -\frac{1}{2}\binom{1/2}{n+1}(-4)^{n+1}$$

Entiendo esa parte, así que no es necesario entrar en más detalles al respecto. Sin embargo, los siguientes pasos de simplificación sólo se comentan escasamente en el libro:

\begin{align*} C_n &= -\frac{1}{2}\binom{1/2}{n+1}(-4)^{n+1}\\ &= -\frac{1}{2}\frac{\frac{1}{2} (\frac{1}{2} - 1) (\frac{1}{2} - 2) \ldots(\frac{1}{2} - n)}{ (n+1)!}(-4)^{n+1}\\ &= \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \ldots \cdot (2n-1) \cdot 2^n}{ (n+1)!}\\ &= \frac{1}{n+1}\frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \ldots \cdot (2n-1)}{ n!} \frac{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \ldots \cdot 2n}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot n}\\ &= \frac{1}{n+1}\binom{2n}{n} \end{align*}

Puedo ver cómo se justifican las dos primeras igualdades, pero no veo cómo se han producido las tres últimas. Sospecho que me faltan algunas identidades esenciales y que conocerlas me facilitará estos pasos. En cualquier caso, se agradecería un recorrido más riguroso.

Gracias por la ayuda y los mejores deseos, Rafael

Answer 1

Para la tercera igualdad, \begin{align*} -\frac{1}{2}\frac{\frac{1}{2} (\frac{1}{2} - 1) (\frac{1}{2} - 2) \ldots(\frac{1}{2} - n)}{ (n+1)!}(-4)^{n+1}&= (-1)^n\cdot\frac{1}{2}\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}\frac{1(2-1)(4-1)\cdots(2n-1)}{(n+1)!}(-1)^n4^{2n+2}\\ &= 2^{-n-2}4^{2n+2}\frac{1\cdot 3\cdot 5\cdots 2n-1}{(n+1)!} \\ &= \frac{1\cdot 3\cdot 5\cdots (2n-1)\cdot 2^n}{(n+1)!}. \end{align*} La cuarta igualdad resulta de multiplicar arriba y abajo por $1\cdot 2\cdot 3 \cdots n$ y distribuyendo el factor de $2^n$ a través de estos términos en el numerador. Finalmente, esto da \begin{align*} \frac{1}{n+1}\frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \ldots \cdot (2n-1)}{ n!} \frac{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \ldots \cdot 2n}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot n} &= \frac{1}{n+1}\frac{1\cdot 2\cdot 3\cdots 2n}{n!(1\cdot 2\cdot 3\cdots n)} \\ &= \frac{1}{n+1} \frac{(2n)!}{(n!)^2} \\ &= \frac{1}{n+1}\binom{2n}{n}. \end{align*}