Para $f(x)=\frac {1}{x}$ y $g(x)=\sqrt{x-4}$ encontrar el dominio de la función compuesta $g\circ f(x)$ .

Question

Para $f(x)=\frac {1}{x}$ y $g(x)=\sqrt{x-4}$ encontrar el dominio de la función compuesta $g\circ f(x)$ .

Mi intento

Aquí, $$f(x)=\frac {1}{x}$$ $$g(x)=\sqrt{x-4}$$ Ahora,

$$g\circ f(x)=\sqrt{\frac {1-4x}{x}}$$

¿Cómo puedo seguir adelante?

Answer 1

Tenemos $$g\circ f(x)=\sqrt{f(x)-4}=\sqrt{\frac{1}{x}-4}$$ Esta función se define cuando $x\neq 0$ debido a la $\frac{1}{x}$ y cuando $\frac{1}{x}-4\geq 0$ debido a la $\sqrt{\quad}$ . Ahora bien, si $x<0$ entonces $\frac{1}{x}<0$ y así $\frac{1}{x}-4<0$ . Por lo tanto, necesitamos $x>0$ . Por último, si $x>0$ entonces $$\frac{1}{x}-4\geq 0 \iff \frac{1}{x}\geq 4 \iff 1 \geq 4x \iff \frac{1}{4}\geq x.$$ Esto demuestra finalmente que el dominio de $g\circ f$ es $D=(0,\frac{1}{4}]$ .

Answer 2

$$D_{gof}=\{x\in\,D_f\,|\,f(x)\in\,D_g \}$$ $D_f=\mathbb{R}-\{0\}\,$ , $\,D_g=[4,\infty)$ y $f(x)\in\,D_g $ se interpretó de la siguiente manera $$\frac{1}{x}\in[4,\infty)\implies \,\frac{1}{x}\ge\,4\implies \frac{1-4x}{x}\ge\,0$$

entonces $$D_{gof}={R}-\{0\}\,\cap(0,\frac{1}{4}]=(0,\frac{1}{4}] $$