Integración de un $k$ -forma sobre cadenas

Question

En la obra de Spivak Cálculo sobre Múltiples define la integral de un $k$ -sobre un $k$ -y demuestra una versión del teorema de Stokes para esta situación, antes de pasar a discutir la integral de una forma diferencial sobre una variedad. Otros libros, como Introducción a los colectores suaves por Lee y Análisis en colectores de Munkres, parecen saltarse este paso. Definen la integral de un $k$ -sobre un $k$ -sin mencionar ni demostrar teoremas sobre $k$ -cadenas. (¿Estoy en lo cierto?)

¿Cuál es la ventaja (si es que hay alguna) del enfoque de Spivak? Para mí, $k$ -las cadenas parecen ser una definición extraña e innecesaria en un tema que ya tiene demasiadas definiciones desconocidas.

Answer 1

En Lee la integral sólo está definida para una n-forma en una n-manifold. Si se quiere integrar una forma k de dimensión inferior (k < n), hay que utilizar una submanifolda de dimensión k y tirar de la forma con inclusión. Creo que uno de los propósitos de las cadenas es evitar hablar de submanifolds y orientaciones de los límites de los manifolds. En su lugar, podemos integrar formas de menor dimensión en un espacio de mayor dimensión utilizando cadenas singulares.