¿Son iguales los elementos primos de R y R[x]?

Question

Si $a$ es un elemento primo de $R$ entonces podemos decir $a$ también es un elemento primo de $R[x]$ ?

¿Qué pasa con la otra dirección? - si $a$ es un elemento primo de $R[x]$ entonces es un elemento primario de $R$ ?

Si $R$ y $R[x]$ son isomorfas $\implies$ lo que sea que esté en $R$ es que en $R[x]$ ?

Sé que las unidades y los irreductibles entre sí son lo mismo

En cuanto a, si $a$ es un elemento primo de $R$ entonces podemos decir $a$ también es un elemento primo de $R[x]$ :

Mi enfoque:

Dejemos que $a$ ser primo en $R$ y no prima en $R[x]$ entonces $a \vert f(x)g(x); $

$a \nmid f(x)$

$a \nmid g(x)$ esto implica $f(x) = q_1(x)a+r_1(x)$ y $g(x) = q_2(x)a+r_2(x)$

Como $r_1(x)$ y $r_1(x)$ no son iguales a cero

$deg(r_1(x)) < deg(a) \rightarrow contradiction \hspace{1mm}as\hspace{0.4 cm} deg(a) = 0$

Por favor, corrígeme. Siento que algo está mal ahí.

Answer 1

No. Si $R$ es un dominio integral, entonces $x$ es un elemento primo de $R[x]$ pero ni siquiera un elemento de $R$ . Wikipedia contiene otros ejemplos de elementos primos de anillos polinómicos que claramente no son elementos pares del anillo subyacente.

Al resto de su pregunta: Si $R\cong R[x]$ entonces esto hace no media $r\in R[x]\to r\in R$ (así es como he interpretado su declaración).