Demostrar el coeficiente de la serie geométrica

Question

Obsérvese que la serie geométrica $$\sum_{n \geq 0}{x^n}=\frac{1}{1-x}, x \in (-1,1)$$ es un caso especial del teorema del binomio para exponentes reales, en el que el teorema del binomio para exponenets reales es $$(1+x)^a=\sum_{n \geq 0}{a \choose n}{x^n}$$ . El caso especial es cuando $a=-1$ y $x=-x$ . No tengo ni idea de cómo probarlo $${-1 \choose n}{(-1)^n}=1, n \in Z^+$$

Answer 1

En general $n \in \mathbb{Z}$ y $k \in \mathbb{N}$ definimos $$\binom{n}{k} \stackrel{\text{def}}{=} \frac{n \times (n - 1) \times \cdots \times (n - k + 1)}{1 \times 2 \times \cdots \times k}.$$ Si utilizas esta definición, obtendrás lo que quieres :)

Answer 2

Una posible definición de $\dbinom{\alpha}{\beta}$ es $$\dbinom{\alpha}{\beta} = \dfrac{\Gamma(\alpha + 1)}{\Gamma(\beta + 1) \Gamma(\alpha - \beta)}$$ Cuando $\alpha$ resultan ser enteros negativos digamos $\alpha_{\mathbb{Z}}$ y $\beta$ resulta ser un número entero $\in (-\infty,\alpha_{\mathbb{Z}}] \cup [0,\infty)$ Entonces, defina $\dbinom{\alpha_{\mathbb{Z}}}{\beta}$ como $$\dbinom{\alpha_{\mathbb{Z}}}{\beta} = \lim_{\alpha \to \alpha_{\mathbb{Z}}}\dfrac{\Gamma(\alpha + 1)}{\Gamma(\beta + 1) \Gamma(\alpha - \beta)}$$