Bialgebras con teoría de la representación rígida

Question

Repost desde math.SE ya que no hay respuesta después de dos meses, pero siéntase libre de cerrar si no es apropiado:

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Todo es de dimensión finita sobre un campo $k$ .

Dejemos que $B$ sea una bialgebra con $B\text{-mod}$ su categoría de módulos. Supongamos ahora que fijar una estructura rígida en $B\text{-mod}$ tal que el dual de un módulo viene dado por el espacio vectorial dual, con alguna acción. En otras palabras, tomar duales en $B\text{-mod}$ conmuta en la nariz con el functor canónico de olvido a $Vect$ .

Mi pregunta: Es $B$ ¿es necesariamente un álgebra de Hopf? $^\text{see Edit below}$

El motivo de esta pregunta es que a partir de los datos anteriores puedo definir fácilmente una estructura de álgebra cuasi-Hopf sobre $B$ cuyo coasociador es trivial. Para mí, un álgebra cuasi-Hopf es como un álgebra de Hopf, salvo que no es del todo coasociable y que la antítesis ha sido sustituida por un triple $(S,\alpha, \beta)$ , donde $S$ sigue siendo la antípoda, pero $\alpha, \beta \in B$ son ahora algunos elementos que implementan la evaluación y coevaluación en $B\text{-mod}$ . Este triple tiene que satisfacer algunos axiomas, a saber, las ecuaciones en zig-zag de la estructura rígida. ${}^\star$

Así,

Mi pregunta formulada de otra manera : ¿Es necesariamente el caso de que $\alpha = \beta = 1$ en el álgebra cuasi-Hopf que obtuve anteriormente?

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${}^\star$ Una fuente para esta construcción es, por ejemplo, la sección 3.5 de "Quasi-Hopf algebras - a categorical approach" de Bulacu, Caenepeel, Panaite y van Oystaeyen.

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Editar: Lo siento, hay un "error" en lo anterior. Mis dos preguntas no son equivalentes. Como ha señalado Adrien, los triples antípodas no son únicos, sino que dos distintos están relacionados por algún elemento invertible (esto se ve fácilmente observando que una elección de estructura rígida es estructura, pero elecciones diferentes están relacionadas por un isomorfismo natural único). Si el coasociador es trivial, se puede demostrar (como en el artículo de Drinfeld) que si $B$ admite alguna antítesis triple $(S,\alpha,\beta)$ entonces admite una triple antítesis $(S,1,1)$ . En particular, con esta última es un álgebra de Hopf.

Sin embargo, mi segunda pregunta era: Para una estructura rígida fija en $B\text{-mod}$ son $\alpha$ y $\beta$ de la reconstrucción automáticamente trivial? Y supongo que la respuesta a esto es "no", ya que para cualquier elemento invertible $u$ en un álgebra de Hopf $H$ con antítesis $S$ obtenemos una estructura cuasi-Hopf (es decir, una triple antítesis) $(S(h) = uhu^{-1}, \alpha = u, \beta = u^{-1})$ , de manera que nos encontramos en la situación de mi pregunta.

Answer 1

Sí, es cierto que si un cuasi álgebra de Hopf tiene un coasociador trivial, entonces es equivalente a un álgebra de Hopf real (con $\alpha=\beta=1$ ). En otras palabras, si se sabe que la categoría es rígida (es decir, si se sabe que existen duales), entonces hay una elección particular para esta dualidad (canónicamente isomorfa a cualquier otra) para la que la correspondiente antípoda es Hopf en la nariz.

Esto se demostró en el artículo original de Drinfeld "Quasi-Hopf algebras" (véase su segunda observación después de la ecuación 1.20) y es también una característica bien conocida de la reconstrucción tanakiana (la prueba es prácticamente la misma). Véase, por ejemplo http://schauenburg.perso.math.cnrs.fr/papers/tdaha.ps . Obsérvese, como se hace en este trabajo, que el formalismo general sólo funciona bien si se piensa en dimensiones finitas comodines sobre una bialgebra, en cuyo caso es Hopf si la categoría es rígida. Pero si $B$ es de dimensión finita entonces su categoría es la misma que f.d. $B^*$ -comódulos para que todo esté bien.