El agua fluye desde un tanque cónico invertido con un orificio circular.

Question

Tengo problemas con una pregunta para una clase de Análisis Numérico. Es una pregunta del libro de texto, pero no logro entenderla. He revisado el método de Runge-Kutta en mi libro, pero no tengo idea de cómo tomar lo que la pregunta proporciona y traducirlo en lo que necesito. Aquí está la pregunta en sí:

"El agua fluye desde un tanque cónico invertido con orificio circular a la velocidad

$dx/dt = -0.6 \pi r^2\sqrt{2g}\frac{\sqrt{x}}{A(x))}$

donde r es el radio del orificio, x es la altura del nivel del líquido desde el vértice del cono y A(x) es el área de la sección transversal del tanque x unidades por encima del orificio. Supongamos que $r=.1ft$, $g=32.1ft/s^2$ y que el tanque tiene un nivel de agua inicial de 8 pies y un volumen inicial de $512(\pi/3)ft^3$. Utiliza el método de Runge-Kutta de orden cuatro para encontrar lo siguiente:

a) El nivel del agua después de 10 minutos (600s) con h=20s (-> 30 pasos)

b) Cuándo estará vacío el tanque, con precisión de un minuto."

Entre otras cosas, no entiendo cómo el área de una sección transversal debería afectar la tasa de flujo; si el tamaño del orificio es constante, entonces la tasa de flujo también debería ser constante, ya que no tenemos fuerzas exteriores (aparte de la gravedad) que afecten la rapidez con la que el agua fluye. Si A(x) es simplemente el área de algún círculo a cierta altura x, entonces a medida que x -> 0, A(x) se vuelve más grande, por lo que la tasa de flujo se reduce, ¿pero tiene sentido eso? Tal vez me esté perdiendo algo.

Como nota adicional, estoy usando Maple, por lo que cualquier bloque de código/sugerencias para eso podrían ser útiles.

Gracias de antemano.

Answer 1

Sugerencia: Sabemos que el área de la superficie del cono, $A= \Pi r^2$ y el volumen, $V = \frac{1}{3}\Pi r^2x$. Dado que $V$ está dado en la pregunta, podemos encontrar que $r^2 =\frac{512}{x}$ y substituir el $r^2$ en la ecuación del área y escribirla en términos de $x$, lo que nos da $A(x)=\frac{512\Pi}{x}.

Finalmente, puedes usar $\frac{dx}{dt}$ en Maple para encontrar la solución. Mira la página 290 del libro de texto Análisis Numérico de Burden y Faires (novena edición) para tener una idea de cómo escribir el código en Maple. Supongo que estás usando este texto porque la pregunta que hiciste es directamente de ese libro de texto.