Descomposición de conjuntos abiertos en $\mathbb{R^d}$

Question

Estoy tratando de demostrar el siguiente problema. Es un ejercicio del libro de texto de Análisis Real de Stein.

El problema: Supongamos que $\mathbb{R^d}-\{0\}$ se representa como $\mathbb{R_+}\times S^{d-1}$ con $\mathbb{R_+}=\{0<r<\infty\}$ y $S^{d-1}=\{x\in \mathbb{R^d},|x|=1\}$ es la esfera unitaria. Entonces demuestre que todo conjunto abierto en $\mathbb{R^d}\backslash{\{0\}}$ puede escribirse como una unión contable de rectángulos abiertos de estos productos.

Stein da la siguiente pista en su libro

Una pista: Considera la colección contable de rectángulos de la forma $$\{r_j<r<r_k^{'}\}\times\{\gamma\in S^{d-1}:|\gamma-\gamma_l|<1/n\}$$ Aquí $\gamma_j$ y $\gamma_k^{'}$ se extienden sobre todos los racionales positivos y $\{\gamma_l\}$ es un conjunto denso contable de $S^{d-1}$

Intento: Obsérvese que cualquier conjunto abierto en $\mathbb{R^d}$ puede expresarse como una unión contable de rectángulos casi disjuntos. Así que basta con demostrar que la afirmación es válida para los rectángulos abiertos. Entonces me he quedado atascado. Así que tenemos un rectángulo abierto en el espacio ¿cómo lo transformamos en lo que queremos..

Answer 1

La idea es similar a la de las bolas. Pero ahora se le dan algunos sectores

$$ S_{j, k,n} = \{|r_j-r|< \frac{1}{n}\} \times \{\gamma \in \mathbb S^{d-1}: |\gamma - \gamma_k| \leq \frac{1}{n}\}$$

Podemos hacerlo para cualquier conjunto abierto. Sea $V$ sea cualquier conjunto abierto en $\mathbb R^d \setminus \{0\}$ . Dejemos que $(a_i)$ sea un subconjunto denso de $V$ . Así que basta con encontrar, para cada $i$ , un sector $S_{j, k, n}$ para que $a_i \in S_{j, k,n} \subset V$ .

Ahora, para cada $a_i$ , hay $d_i>0$ para que la bola abierta centrada en $a_i$ con radio $d_i$ están en $V$ : $B_{d_i}(a_i) \subset V$ .

La coordenada polar de $a_i$ viene dada por $(|a_i|, \frac{a_i}{|a_i|})$ . Dejemos que $n$ sea grande para que

$$(*)\ \ \ \ \ \frac{1}{n} < \frac{d_i}{2(|a_i|+3)}.$$

Ahora encuentra $r_j$ y $\gamma_k$ para que

$$\big| r_j- |a_i| \big| < \frac{1}{n}, \ \ \ |\gamma_k - \frac{a_i}{|a_i|} | < \frac{1}{n}.$$

Así, $a_i \in S_{j, k, n}$ . Ahora demostramos que $S_{j, k, n} \subset B_{d_i} (a_i)$ . Escoge $x\in S_{k, j, n}$ . Sea $y\in \mathbb R^d\setminus \{0\}$ para que $y = (|x|, \frac{a_i}{|a_i|})$ cuando se escribe en coordenadas polares. Entonces por la desigualdad del triángulo

$$|x - a_i| \leq |x-y | + |y-a_i| \leq |x| \bigg( \bigg| \frac{x}{|x|} - \frac{a_i}{|a_i|}\bigg|\bigg) + \big| |x| - |a_i|\big|$$

Como $|x| \leq ||x| -r_j| + r_j \leq \frac{1}{n} + |a_i| + \frac{1}{n} = |a_i|+\frac{2}{n}$ Así que

$$ |x| \bigg( \bigg| \frac{x}{|x|} - \frac{a_i}{|a_i|}\bigg|\bigg) \leq |x| \bigg( \bigg| \frac{x}{|x|} - \gamma_k\bigg| + \bigg| \gamma_k - \frac{a_i}{|a_i|}\bigg|\bigg)\leq (|a_i| + \frac{2}{n}) \frac{2}{n} \leq (|a_i|+2)\frac{2}{n}$$

También,

$$\big| |x| - |a_i|\big|\leq \big| |x| - r_j \big| + \big|r_j - |a_i|\big| \leq \frac{2}{n}. $$

Así,

$$|x-a_i| \leq (|a_i|+3) \frac{2}{n} < d_i. $$

Por lo tanto, $x\in B_{d_i}(a_i)$ . Así que $S_{j, k, n} \subset V$ y así hemos terminado.