Dejemos que $\mathcal F$ sea un haz vectorial sobre una variedad proyectiva $(X, \mathcal O_X(1))$ y $P_\mathcal F(m)=\chi(X, \mathcal F(m))$ sea su polinomio de Hilbert. Entonces puedo definir de $P_\mathcal F$ el valor del rango $rk(\mathcal F)$ ?
Respuesta
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Dejemos que $(X,\mathcal O_X(1))$ sea proyectiva de dimensión $n$ . Dejemos que $\eta \in X$ sea el punto genérico. Para una gavilla $ \mathcal F$ escribir $$P_{\mathcal F}(m) = \sum_{i=0}^n a_i(\mathcal F) \frac{m^i}{i!}.$$ Dejemos que $d = \deg X = a_n(\mathcal O_X)$ sea el grado de $(X, \mathcal O_X(1))$ .
Lema. Dejemos que $\mathcal E$ sea un haz vectorial de rango $r$ en $X$ . Entonces $a_n(\mathcal E) = rd$ .
Prueba. Para $\mathcal E = \mathcal O_X$ Esta es la definición de $d$ . Por la aditividad del polinomio de Hilbert, esto demuestra el resultado cuando $\mathcal E$ es el haz trivial de rango $r$ .
Ahora dejemos que $\mathcal E$ sea un haz vectorial cualquiera. Sea $s_1, \ldots , s_r \in \mathcal E_\eta$ sea una base para la fibra genérica de $\mathcal E$ . Entonces $s_i$ es una sección racional definida a partir de algún divisor $D_i$ . Configuración $D = \sum D_i$ vemos que el mapa \begin{align*} \mathcal O_X^n &\to \mathcal E(D)\tag{1}\label{1}\\ e_i &\mapsto s_i \end{align*} se define. Esto da una corta secuencia exacta $$0 \to \mathcal O_X^n \to \mathcal E(D) \to \mathcal F \to 0,$$ donde $\mathcal F$ se apoya en algún divisor $D'$ (ya que (\ref{1}) es genéricamente un isomorfismo). Por aditividad del polinomio de Hilbert, obtenemos $$P_{\mathcal E(D)} = P_{\mathcal O_X^n} + P_\mathcal F.$$ Pero $\mathcal F$ se apoya en la dimensión inferior, por lo que no contribuye al coeficiente principal. Un argumento similar nos permite sustituir $\mathcal E(D)$ por $\mathcal E$ . $\square$
Observación. Si no te gustan las secciones racionales, también puedes utilizar el teorema de Serre para concluir que $\mathcal E(m)$ se genera globalmente para $m \gg 0$ y, a continuación, seleccione $s_i$ que generan $\mathcal E(m)_\eta$ .
Observación. Parece que no hemos usado realmente eso $\mathcal E$ es un haz vectorial. El mismo argumento debería funcionar para cualquier gajo coherente (donde el rango es, por definición, la dimensión de la fibra genérica).
