¿Es un espaciotiempo razonable conectado geodésicamente?

Question

Existen algunos teoremas sobre si un espaciotiempo está conectado geodésicamente (si dos puntos cualesquiera $p, q \in M$ admiten una geodésica que los conecta) o no, es decir [1] [2] pero todos ellos se refieren a espacios-tiempo bastante simplistas, que no se aplicarían realmente a nuestro universo, o tienen condiciones muy específicas que parecen tal vez demasiado estrechas.

¿Existe un teorema según el cual nuestro propio universo estaría conectado geodésicamente? Lanzando algunas condiciones "razonables", eso podría implicar espacios-tiempo con las siguientes propiedades :

• Hiperbólico global
• Máxima extensión
• Obedecer alguna condición de energía razonable (es decir, la condición de energía nula o la condición genérica)
• Tensor de tensión-energía acotado

Se puede demostrar con bastante facilidad que esto es falso simplemente admitiendo la hiperbolicidad global y el NEC (es decir, el espaciotiempo construido tomando la unión de dos futuros conos de luz en el espacio de Minkowski), o tomando una transformación de Weyl de este espaciotiempo para que el tensor de Riemann diverja en su frontera, de modo que también se extienda al máximo.

¿Existe un teorema específico para un espaciotiempo plausible en el que esté conectado geodésicamente, o es simplemente erróneo, o desconocido?

Answer 1

Que un espaciotiempo "razonable" esté conectado geodésicamente depende de la definición de "razonable".

Si consideramos globalmente hiperbólico espaciotiempo como razonable, entonces hay un teorema de Avez (1963) & Seifert (1967), que afirma que los espaciostiempos globalmente hiperbólicos son causalmente geodésicamente conectados. Nótese que aquí los dos puntos deben estar conectados causalmente, el teorema no dice nada sobre los puntos que no están relacionados causalmente. Para una demostración del teorema, así como otras condiciones suficientes en términos de desprestigio y pseudoconvexidad, véase el libro:

• Beem J.K., Ehrlich P.E., Easley K.L. (1996) Geometría global lorentziana . Marcel Dekker, Nueva York.

o una revisión más reciente (y de libre acceso):

• Minguzzi, E. (2019). Teoría de la causalidad lorentziana . Revistas vivas en relatividad, 22(1), 3, doi:10.1007/s41114-019-0019-x .

Cobertura universal de anti-de Sitter es un ejemplo de espaciotiempo que no está conectado geodésicamente: todas las geodésicas temporales que emanan de un punto determinado $p$ se centran en un antipodal punto $q$ , por lo que un punto $r$ con una separación espacial de $q$ tiene no geodésicas que lo conectan con $p$ a pesar de estar causalmente conectada a ella (véase la figura):

Aunque podría decirse que el anti-de Sitter no es un razonable espaciotiempo, ya que corresponde a la constante cosmológica negativa, hay Solución Bertotti-Robinson del sistema Einstein-Maxwell que es sólo $\text{AdS}_2 \times S_2$ y, por tanto, se extiende al máximo, con un tensor de tensión-energía acotado que obedece a unas condiciones energéticas razonables, pero que no está conectado geodésicamente.

Otro grupo interesante de espaciotiempos sin conectividad geodésica consiste en varias soluciones de ondas pp. Como se ha observado por primera vez, tanto para el espaciotiempo puramente gravitacional como para el espaciotiempo EM+gravitacional ondas planas (una subclase de ondas pp con una simetría superior) por R. Penrose en 1965 El comportamiento de focalización de las geodésicas nulas a partir de puntos específicamente elegidos impide que tales espaciostiempos sean globalmente hiperbólicos y geodésicamente conectados. Se han considerado varias generalizaciones de dichos espaciostiempos, véase, por ejemplo aquí y aquí . La imposición de restricciones "razonables" a estos espaciostiempos, como la finitud o la planitud asintótica del frente, suele dar como resultado la hiperbolicidad global y la conectividad geodésica.

Así que, en general, las condiciones para la conectividad geodésica del espaciotiempo deben ser global de carácter (por lo que no bastaría con una condición energética específica).