¿Hay algún grupo de monstruos de Tarski para el primer $3$ o $5$ ? Sé que no hay Grupos de Monstruos de Tarski con primos $2$ pero no sé si el primer $3$ y $5$ .
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Shinwari
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No existe un monstruo de Tarski para $p=3$ Aunque no estoy seguro de la $p=5$ caso. Sin embargo, entiendo que es un problema abierto demostrar que todo grupo de dos generaciones de exponente $5$ es finito (si tales grupos fueran finitos entonces no habría ningún monstruo de Tarski para $p=5$ ).
Para $p=3$ Esto se debe a que cualquier grupo de exponente tres finitamente generado es finito (esto es un ejercicio que se deja al lector al comienzo del capítulo 6, utilizando el comienzo del capítulo 4, del libro de Ol'shanskii Geometría de las relaciones de definición en los grupos ). En efecto, el grupo libre de Burnside de rango $m$ y el exponente tres tiene orden $3^{m+{m \choose 2} + {m\choose 3}}$ (ver MathOverflow ).
Para ver que todo grupo finitamente generado $G$ de exponente tres es finito, comience por utilizar $a^3=1$ , $b^3=1$ , $(ab)^3=1$ y $(a^{-1}b)^3=1$ para conseguir que $a(bab^{-1})=(bab^{-1})a$ (es la figura 25, p113, del libro de Ol'shanskii). Así, $a$ conmuta con sus conjugados, por lo que $a$ se encuentra en algún subgrupo abeliano normal $N$ de $G$ , $N=\langle a^b: b\in G\rangle$ . Como $a$ es arbitraria, cada elemento se encuentra en un subgrupo normal abeliano de $G$ . Esto implica que $G$ es finito, ya que toma $a$ para ser un generador y mirar $G_1=G/N$ . Entonces $G_1$ es generado por menos elementos que $G=G_0$ y $G_2=G_1/N_1$ es generado por menos elementos que $G_1$ etc. Si $G_1$ es infinito, entonces este proceso obtendrá después de un número finito de pasos un grupo finito, $G_n$ digamos, tal que $G_{n-1}$ es infinito. Entonces tenemos $G_0\rightarrow G_1\rightarrow G_2\rightarrow \cdots\rightarrow G_n$ . Demostraremos que $G_{n-1}$ es finito, una contradicción, por lo que $G=G_1$ es finito. Como $G_n$ es finito, $N_{n-1}$ tiene un índice finito en $G_{n-1}$ . Como $G_{n-1}$ es de generación finita, y los subgrupos de índice finito de los grupos de generación finita son de generación finita, tenemos que $N_{n-1}$ está generada finitamente. También es abeliano de exponente tres, por lo que $N_{n-1}$ es finito. Como $N_{n-1}$ es un subgrupo de índice finito de $G_{n-1}$ tenemos que $G_{n-1}$ es finito, y la prueba está completa. (Este final es chapucero, ¿alguna idea de una forma más ordenada?)
He renunciado a tratar de encontrar referencias decentes para el $p=5$ caso. Tal vez esto sería una buena pregunta de MathOverflow. Mark Sapir frecuenta allí, y debería saberlo (mi "búsqueda de una referencia" consistió en rebuscar en sus documentos...).
