¿Existen pruebas alternativas del teorema general de expansión de la serie de Taylor para funciones reales?

Question

Con el fin de comprender mejor las verdaderas series de Taylor, he examinado algunos libros de Cálculo básico, con la vista puesta en las demostraciones del teorema de la serie de Taylor y el posible comentarios de los autores sobre su derivación. (Mi reacción cuando vi por primera vez una demostración, hace muchos años, fue una mezcla de gran sorpresa y ansiedad. Y aún así, aunque entiendo los pasos individuales, la forma en que se combinan para producir, por ejemplo, la serie de sinx me parece poco menos que milagrosa).

Hasta ahora, de los libros que he visto, tengo la misma impresión: que este teorema es un ejercicio técnico en aplicaciones repetidas del teorema del valor medio. Y tenemos la suerte de que algunas funciones útiles tienen todas las derivadas acotadas, por lo que el resto tiende a cero y se produce una bonita serie, sin que haya que decir nada más. Pero algunos autores hacen algunos comentarios cercanos a lo que yo siento, aunque no muy alentadores, por ejemplo

de Cálculo, de Karl Menger: "La fórmula de Taylor (...) es una de las grandes maravillas de las matemáticas. (...) Se trata de algo así como una acción matemática a distancia (...)"

de Real Analysis, de Laczkovich & Sós: "El enunciado del Teorema (...) es en realidad bastante sorprendente (...) las derivadas de f en un solo determinan los valores de la función en cualquier otro punto (...)"

de Introducción al Cálculo, por Osgood: "(...) Dado que la raza tardó dos siglos en desarrollar esta fórmula después de que se inventara el Cálculo, el estudiante no se sorprenderá de que las razones que subyacen en ella no puedan darse en pocas palabras. Que la acepte como un deus ex machina".

Ahora bien, toda esta indagación puede ser excesivamente romántica y obsesiva por mi parte, y la serie Taylor es un ejemplo perfecto de la "fría y austera belleza de las matemáticas", como ha expresado Russell. Pero creo que compartir experiencias mentales ayuda la mente a mejorar sus giros y horizontes, así que puedo preguntar
¿Cuál fue su reacción cuando vio por primera vez este teorema? ¿Y ha cambiado su comprensión general del mismo desde entonces, por alguna otra forma de verlo y demostrarlo?

Answer 1

Es sencillo descubrir la serie Taylor. Empecemos por $$ \tag{1}f(x) = f(a) + \int_a^x f'(s) \, ds, $$ que por supuesto es el teorema fundamental del cálculo. Ahora bien, si nos sentimos juguetones podríamos observar (de nuevo por FTC) que $f'(s) = f'(a) + \int_a^s f''(t) \, dt$ . Introduciendo esto en (1), encontramos que \begin{align} f(x) &= f(a) + \int_a^x f'(a) + \int_a^s f''(t) \, dt \,ds \\ \tag{2}&= f(a) + f'(a)(x - a) + \underbrace{\int_a^x \int_a^s f''(t) \, dt \, ds}_{\text{remainder}}. \end{align} Podemos seguir así todo el tiempo que queramos. El siguiente paso es observar que $f''(t) = f''(a) + \int_a^t f'''(u) \, du$ . Introduciendo esto en (2), encontramos que \begin{align} f(x) &= f(a) + f'(a) (x - a) + \int_a^x \int_a^s f''(a) + \int_a^t f'''(u) \, du \, dt \, ds \\ &= f(a) + f'(a)(x - a) + \int_a^x f''(a)(s - a) + \int_a^s \int_a^t f'''(u) \, du \, dt \, ds \\ &= f(a) + f'(a)(x - a) + f''(a) \frac{(x-a)^2}{2} + \underbrace{\int_a^x \int_a^s \int_a^t f'''(u) \, du \, dt \, ds}_{\text{remainder}}. \end{align} Ya ves el patrón. Así que hemos descubierto la aproximación polinómica de Taylor a $f(x)$ y tenemos una fórmula para el resto.

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Por cierto, si $| f'''(u) | \leq M$ para todos $u \in [a,x]$ , entonces el resto $R(x)$ satisface \begin{align} | R(x) | &\leq \int_a^x \int_a^s \int_a^t | f'''(u) | \, du \, dt \, ds \\ &\leq \int_a^x \int_a^s \int_a^t M \, du \, dt \, ds \\ &= M \frac{(x-a)^3}{3!}. \end{align} Se ve cuál será el límite del resto para aproximaciones de series de Taylor de orden superior. Así vemos que el resto será pequeño si $x$ está cerca de $a$ .

(Si $f$ es el seno o el coseno, podemos tomar $M = 1$ . Si $f$ es la función exponencial, podemos tomar $M = e^x$ .)

Answer 2

Considere la función $p(x)$ = $\sum_{i=0}^\infty c_i(x-a)^i$ = $c_0+c_1(x-a)+c_2(x-a)^2...$

Aquí $c_i$ representa algún escalar.

Consideremos una función arbitraria $f(x$ ). Queremos $p(x)$ = $f(x)$ para todo x $\epsilon$ $R$ . En otras palabras, queremos que p(x) "coincida" con f(x). Supondremos que esta función $f(x)$ es "suficientemente bueno" en el sentido de que está definido en todos los $R$ y es de la clase $C^\infty$ (lo que significa que es continuamente diferenciable).

Comenzamos eligiendo un punto a $\epsilon$ $R$ . Tenga en cuenta que entonces $p(a)$ = $c_0$ . Ahora bien, si $p(x)$ es igual a $f(x)$ en $R$ Debemos tener $p(a)$ = $f(a)$ por lo que se deduce que $c_0$ = $f(a)$ .

Ahora considere $p ' (x)$ = $\sum_{i=1}^\infty c_ii(x-a)^{i-1} $ = $c_1+2c_2(x-a)+3c_3(x-a)^2...$

Si $p(x)$ es igual a $f(x)$ en R, necesitamos $p'(a)$ = $f'(a)$ . La pendiente de las rectas tangentes a ambas funciones debe tener el mismo valor.

Desde $p'(a)$ = $c_1$ es evidente que $c_1$ = $f'(a)$ .

Ahora miramos $p ' '(x)$ = $\sum_{i=2}^\infty c_i(i)(i-1)(x-a)^{i-2} $ = $2(1)c_2+(3)(2)c_3(x-a)+c_4(4)(3)(x-a)^2...$

Si $p(x)$ es igual a $f(x)$ en R, necesitamos $p ' '(a)$ = $f ''(a)$ (Las tasas de cambio instantáneas de las primeras derivadas de cada función deben ser iguales). Dado que $p''(a)$ = $2(1)c_2=2!c_2$ se deduce que $c_2$ = $f''(a)\over2!$ . La razón por la que escribí 2(1) como 2! también debería quedar inmediatamente clara en el siguiente párrafo.

Veamos la derivada general enésima de $p(x)$ , denotado como $p^{(n)}$ (x).

$p^{(n)}$ (x)= $\sum_{i=n}^\infty c_i(i)(i-1)...(i-(n-1))(x-a)^{i-n} $ = $n!c_n+c_{n+1}(n+1)(n)...(2)(x-a)+...$

Hemos establecido $p^{(n)}$ (a)= $f^{(n)}$ (a). Dado que $p^{(n)}$ (a)= $n! c_n$ tenemos que $c_n$ = $f^{(n)}(a)\over n!$ .

Utilizando los hechos anteriores, podemos reescribir $p(x)$ como:

$p(x)$ = $\sum_{i=0}^\infty {f^{(i)}(a)\over i!}(x-a)^{i}$ = $f(a)$ + $f'(a)(x-a)$ + $f''(a)\over2!$$ (x-a)^2$ +.... + $f^{(n)}(a)\over n!$ $(x-a)^n$ +...

(Tenga en cuenta que $ f^{(0)} $ (a)= $f(a)$ )

$p(x)$ es la serie de Taylor de $f(x)$ en x=a. La fórmula debería ser completamente intuitiva. Si dos funciones p(x) y f(x) deben "coincidir", entonces todas sus derivadas en un mismo punto x=a deben ser iguales .

Como nota final, en general, $p(x)$ no será igual a una función para todo x $\epsilon$ $R$ que no cumpla los requisitos establecidos en el segundo párrafo.