Variante de la ruina del jugador: cada apuesta es de 1/k dólares, ¿qué ocurre con la probabilidad de ganar cuando k se acerca al infinito?

Question

Estoy tratando de resolver una variante del problema de la ruina del jugador, en el que dos jugadores $A$ y $B$ hacer una serie de apuestas hasta que uno de los jugadores quiebre. $A$ comienza con $i$ dólares, B con $N-i$ dólares. La probabilidad de que A gane la apuesta viene dada por $p$ con $0 < p < 1$ . Cada apuesta es para $\frac{1}{k}$ dólares, con $k$ un número entero positivo.

El problema nos pide que encontremos la probabilidad de que $A$ gana el juego, y para determinar qué pasa con esto como $k \rightarrow \infty$ .

Sé que la probabilidad de $A$ ganar en el problema normal de la ruina del jugador (es decir, cuando $k=1$ ) si $A$ comienza con $i$ dólares es $\frac{1-(\frac{q}{p})^i}{1-(\frac{q}{p})^n}$ . Mi intuición es que la probabilidad de que $A$ gana el juego se acerca $0$ como $k \rightarrow \infty$ en este problema en particular, pero no estoy seguro de cómo mostrar esto algebraicamente.

Answer 1

Su expresión $\frac{1-(\frac{q}{p})^i}{1-(\frac{q}{p})^n}$ está bien para $k=1$ cuando $q=1-p \not= p$ .

Pero cuando $q=p=\frac12$ Esa expresión se convierte en una $\frac00$ . En cambio, es $\frac{i}{n}$ Una forma de demostrarlo es considerar la riqueza esperada de A al principio del juego, durante el juego y al final.

Como dijo zhoraster en los comentarios, para los enteros más grandes $k$ (es decir, apuestas más pequeñas) cambia esta probabilidad a $\frac{1-(\frac{q}{p})^{ik}}{1-(\frac{q}{p})^{nk}}$ para $q\not= p$ pero aún así $\frac{i}{n}$ cuando $q=p$ . El tiempo previsto para terminar el juego aumentará cuando $k$ aumenta

En el límite como $k \to \infty$ la probabilidad tenderá a $0$ cuando $p \lt \frac12\lt q$ [el denominador será casi $(\frac{q}{p})^{(n-i)k}$ veces el numerador para grandes $k$ ] y tenderá a $1$ cuando $p \gt \frac12\gt q$ [tanto el numerador como el denominador serán cercanos a $1$ para grandes $k$ ] . Cuando $p = \frac12= q$ entonces se mantendrá en $\frac{i}{n}$