Cociente de Rayleigh para matrices no simétricas

Question

Para una matriz simétrica real dada $M$ y el vector no nulo $x$ el cociente de Rayleigh se define como $$R(M,x) = \frac{(Mx,x)}{(x,x)}$$ ¿Por qué el cociente de Rayleigh sólo está definido para matrices simétricas? Si $M$ es una matriz arbitraria en $\mathbb R^{n\times n}$ es el cociente de Rayleigh de $M$ la mejor aproximación por mínimos cuadrados al valor propio correspondiente a $x$ ? Creo que $M$ tiene que ser simétrica: las ecuaciones normales de $\underset{\alpha \in \mathbb R}{\min}\|Mx - x\alpha\|$ es $$x^Tx\alpha = x^TMx \implies \alpha = \frac{x^TMx}{x^Tx}.$$ Esto es igual a $R(M,x)$ si $M$ ¿es simétrico?

Answer 1

Para un par $(A,B)$ de matrices, el cociente de Rayleigh generalizado se define como

$$R(A,B,x) = \frac{(Ax,x)}{(Bx,x)},$$

siempre que $(Bx,x) \ne 0.$