Cota inferior para el menor valor propio de la suma de dos matrices hermitianas especiales.

Question

Suponga que tiene una composición de matrices hermitianas $H_{i}$ de la forma,

$H=cos(\alpha)H_{1}+sin(\alpha)H_{2}$

con $\alpha\in[0,\tfrac{\pi}{2}]$ y sabes las siguientes cosas:

a) $H_{2}=V^{\dagger}H_{1}V$ es una transformación unitaria de $H_{1}$ .

b) El vector propio más bajo $v_{i}$ de $H_{i}$ tiene un valor propio $\lambda_{i}$ . Además usted tiene la propiedad de que, $$H_{i}v_{j}=\delta_{ij}\lambda_{j}v_{j}.$$ De esto podemos concluir, $$v^{\dagger}_{i}v_{j}=\delta_{ij}.$$ Dado que ambas matrices están relacionadas por un mapeo unitario $\lambda_{1}=\lambda_{2}$ .

c) El espectro de $H_{i}$ es simétrica, lo que significa que los valores propios vienen en pares $\{\lambda_{k},-\lambda_{k}\}$ .

Mi intuición es de alguna manera que el menor valor propio $\lambda$ para la matriz compuesta $H$ está acotado por abajo en el sentido de que tiene que cumplir la propiedad, que $$\lambda\geq{\lambda_{1}},$$ donde el signo de igualdad sólo es válido para $\alpha\in\{0,\tfrac{\pi}{2}\}$ .

Tal vez se pueda debilitar la condición a),c) en el sentido de que las matrices $H_{i}$ no están unidos por una transformación unitaria y el espectro no es simétrico.

En realidad no soy capaz de demostrar esta afirmación, tampoco he encontrado un ejemplo contrario, así que también me alegraría de ello =).

Answer 1

La conjetura no es cierta. Escribí un simple python script que genera matrices aleatorias con las propiedades que quieres, y tras unas cuantas ejecuciones me dio un contraejemplo. Tenga en cuenta que podemos suponer $H_1$ para ser diagonal. $H_1$ se define entonces por una lista aleatoria de números reales (que vienen en pares), con el valor propio más pequeño $\lambda_1$ y al menos un valor propio cero, que llamo $\lambda_2$ . A continuación, genero $H_2$ intercambiando los vectores propios con los valores propios $\lambda_1$ y $\lambda_2$ y haciendo un unitario aleatorio en el resto del espectro. Después de unas cuantas ejecuciones, obtuve el siguiente resultado para el valor propio más bajo en función de $\alpha$ :

Estoy añadiendo el script de Python, ya que es una buena idea para comprobar que no me he equivocado. Además, este script podría ser útil para jugar con él y posiblemente encontrar alguna versión de la declaración que le gustaría que fuera verdadera.

import numpy as np
from scipy.linalg import qr
import pylab as plt

chi = 20  #dimension of matrices, must be at least three

#generate diagonal Hermitian matrix H1 = D with the necessary properties
#(lambda_1 = lowest, lambda_2 = 0, lambda_n > lambda_1 for n > 1)
if chi%2==0:
    D = [np.random.random((1))[0] for i in range(chi/2-1)] + [0]
    D = D + [-d for d in D]
else:
    D = [np.random.random((1))[0] for i in range(chi/2)]
    D = D + [0] + [-d for d in D]
D = np.sort(np.array(D))
D = np.append(np.append(D[:1],D[chi/2:chi/2+1]),np.append(D[1:chi/2],D[chi/2+1:]))
H1 = np.diag(D)

#generate H2 by swapping the eigenvectors for lambda1 and lambda2,
#and do a random unitary on rest of spectrum
Ublock = np.random.random((chi-2,chi-2)) + 1j*np.random.random((chi-2,chi-2))
Ublock,_ = qr(Ublock)
X = np.array([[0,1],[1,0]])
U = np.zeros((chi,chi),dtype=complex)
U[0:2,0:2] = X
U[2:,2:] = Ublock
H2 = np.tensordot(np.tensordot(U,H1,(1,0)),U.conj().T,(1,0))

#check lowest eigenvalue as a function of alpha
alpha_list = np.linspace(0,np.pi/2,100)
lowest = []
for alpha in alpha_list:
    H = np.cos(alpha)*H1 + np.sin(alpha)*H2
    e = np.linalg.eigvals(H)
    e = np.sort(np.real(e))
    lowest.append(e[0])
plt.plot(alpha_list/np.pi,lowest)
plt.ylabel(r'lowest eigenvalue')
plt.xlabel(r'$\alpha/\pi$')
plt.savefig('plot.pdf')