Demostrar que para cualquier conjunto dado $ A \subset X$ donde $X$ es un espacio topológico esto es cierto $ bd(bd(bdA)) = bd(bdA)$

Question

Apreciaré cualquier sugerencia para probarlo.

He intentado utilizar estas dos definiciones: $bdA = clA \setminus int(A)$ y $bdA = clA \cap cl(X\setminus A)$ . Pero me sale una ecuación muy larga y no sé qué hacer con esto. Traté de probar $\subseteq$ y $\supseteq$ pero no sé cómo empezar con eso.

Y sé que en algunos casos $bd(bdA) \neq bdA$ por ejemplo $\mathbb{Q}$ en la topología euclidiana.

Answer 1

Primero hay que tener en cuenta varias cosas:

• Para cualquier $A \subseteq X$ tenemos que $\partial A$ está cerrado.
• Si $U$ es un conjunto abierto, entonces $\operatorname{Int}(\partial U) = \emptyset.$ Sí, es cierto, \begin{align} \operatorname{Int}(\partial U) &= \operatorname{Int}(\overline{U} \cap (\operatorname{Int} U)^c) =\operatorname{Int}(\overline{U}) \cap \operatorname{Int}((\operatorname{Int} U)^c) \\ &= \operatorname{Int}(\overline{U}) \cap \operatorname{Int}(U^c) = \operatorname{Int}(\overline{U}) \cap (\overline{U})^c = \emptyset \end{align} donde utilizamos $\operatorname{Int}(A \cap B) = \operatorname{Int}(A) \cap \operatorname{Int}(B)$ y $\operatorname{Int}(A^c) = (\overline{A})^c$ que es válida para todos los $A,B \subseteq X$ .
• Si $F$ es un conjunto cerrado, entonces como $\partial F = \partial(F^c)$ y $F^c$ está abierto, concluimos que $\operatorname{Int}(\partial F) = \emptyset$ también.

Ahora, para cualquier $A \subseteq X$ tenemos que $\partial A$ es cerrado y por lo tanto $\operatorname{Int}(\partial \partial A)$ está vacía. Por lo tanto, $$\partial \partial \partial A = \overline{\partial \partial A } \cap \operatorname{Int}(\partial \partial A)^c = \partial \partial A \cap X = \partial \partial A$$ desde $\partial \partial A$ también está cerrado.