$ \newcommand{\sint}[1]{ \int \limits_{#1} } \newcommand{\soint}[1]{\oint \limits_{#1} } \newcommand{\dd}{\mathrm{d}} $ Ingenuamente, la nueva gama de integración será $u$ (recuerda, $u$ es una función de $t$ Así que $u$ es una abreviatura de $u(t)$ ) evaluado en los antiguos límites. Por lo tanto,
$$u(-\pi) = e^{-i \pi} = -1 \qquad u(\pi) = e^{i \pi} = -1$$
Pero entonces la integral es obviamente cero, pero eso no puede ser correcto. La pregunta es ¿qué ha salido mal?
El problema es que como ahora trabajamos con números complejos, necesitamos trabajar con un contorno, no sólo con los límites de la integración. Así que lo que su integral original es, en el sentido analítico complejo, sobre el contorno $[-\pi,\pi]$ . Entonces la transformación $u$ proporciona giros $[-\pi,\pi]$ en un círculo. En otras palabras, se obtiene el contorno $C$ parametrizado por $u(t) = e^{i t}$ para $t \in [-\pi,\pi]$ . Entonces, ahora hay que integrar sobre el círculo unitario en el plano complejo. Ya no podemos centrarnos ingenuamente en los límites.
(Además, otra cosa a tener en cuenta: hay que tener en cuenta que esta parametrización asegura que sólo damos una vuelta al bucle. Esto es importante en el uso de algunos cálculos y técnicas).
Intuitivamente, puedes pensar en esto como si tu sustitución mapeara cada punto del intervalo original en otro lugar, y entonces estás integrando sobre eso. Intenta pensar en ello en el caso familiar, unidimensional, que piensas en el cálculo - tu $u$ La sustitución "estira" y "aplasta" el intervalo y la función, no sólo los puntos finales. Así que, en cierto sentido, esto se extiende de forma muy natural a cómo funcionan las cosas en múltiples dimensiones y, en particular, es la razón por la que aquí estamos integrando sobre un círculo. Todo el camino importa, no sólo los límites de la integración.
Es decir, entonces,
$$\sint{[-\pi,\pi]} f(e^{ixt}) \, \dd t = \frac 1 i \soint{|z|=1} \frac{f(z^x)}{z} \, \dd z$$
Las integrales de esta forma pueden manejarse mediante técnicas como Teorema de la integral de Cauchy , Fórmula integral de Cauchy o, el método que engloba ambos y más, el teorema del residuo . Aunque creo que en última instancia depende de la función $f$ con la que estamos trabajando.
