Imagen de $\gamma(t)=(\sin(t+k)\cos(t), \sin(t+k)\sin(t))$ es un círculo.

Question

Me gustaría mostrar la imagen de $\gamma(t)=(\sin(t+k)\cos(t), \sin(t+k)\sin(t))$ es un círculo.

Se me insinuó que debía apelar a la desigualdad isoperimétrica. De ahí que calcule el área que la curva simplemente cerrada y orientada positivamente $\gamma(t)$ encierra: $$A(\gamma(t))=\frac{1}{2}\int_0^T(x\dot y-\dot xy )dt$$ donde $T=2\pi$ en nuestro caso. $$\dot x=\cos(t+k)\cos(t)-\sin(t+k)\sin(t), \dot y=\cos(t+k)\sin(t)+\sin(t+k)\cos(t))\implies x\dot y-\dot xy= \sin^2(t+k)\implies A(\gamma(t))=\frac{1}{2}\int_0^{2\pi}\sin^2(t+k)dt=\frac{\pi}{2}$$

Del mismo modo, calculo la longitud de la curva cerrada $l(\gamma(t))$ : $$l(\gamma(t))=\int_0^{2\pi}|\dot \gamma(t)|dt=\int_0^{2\pi}1dt=2\pi$$

Según la isoperimetría E calidad, $$A(\gamma(t))=\frac{1}{4\pi}l(\gamma(t))^2$$ si y sólo si $\gamma(t)$ es un círculo. Claramente, $\frac{\pi}{2}\ne\frac{1}{4\pi}(2\pi)^2$ . $$$$ ¿Qué me estoy perdiendo aquí?

Answer 1

El problema está en establecer $T = 2\pi$ porque su función es en realidad $\pi$ periódico. Por lo tanto, el área encerrada es

$$A = \frac 1 2 \int_0^{\pi} x\dot y - y \dot x = \frac 1 2 \int_0^{\pi} \sin^2(t + k) \, dt = \frac{\pi}{4}$$

mientras que la longitud correspondiente es

$$\ell(\gamma(t)) = \int_0^{\pi} \, dt = \pi.$$

Ahora la igualdad

$$A = \frac{\ell^2}{4\pi}$$

se mantiene.

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Para un cálculo puramente algebraico que también revela la verdadera periodicidad de la curva, observe que

$$x(t) = \frac 1 2 \big(\sin(2t + k) + \sin(k)\big)$$ y $$y(t) = -\frac 1 2 \big(\cos(2t + k) - \cos(k)\big).$$