¿Cómo se calculan los coeficientes en un IBVP que se resuelve mediante separación de variables?

Question

Soy nuevo en el IBVP y estaba mirando un problema básico de calor, pero tengo una pequeña pregunta sobre la solución del problema. Adjunto el problema y la solución.

En este problema $f(x) = sin (2x) - 3 sin(6x)$ .

Basándonos en las condiciones que se nos dan sabemos que $K = 1$ y $L = 1$

Así que nuestra solución es

Cuando sustituyo en la solución tengo $bn = \int_0^1 sin(2x)sin(nx) - 3sin(6x) sin(nx)dx$

También sabemos que

$\sum_1^\infty bn*sin(nx) = sin (2x) - 3 sin(6x)$

De ello se deduce que $b2 = 1$ y $b3 = -3$ . ¿Puede alguien explicar cómo se obtienen estos coeficientes a partir de lo anterior?

Answer 1

Las soluciones separadas de su EDP tienen la forma $$ f_n(x,t) = X_n(x)T_n(t),\\ X_n(x) = \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right),\;\;\; T_n(t)=\exp\left(-k\left(\frac{n\pi}{L}\right)^2t\right) $$ Las soluciones de la función propia $X_n$ para el $x$ ecuación satisfacen las condiciones comunes del punto final, y esto obliga a $$ \int_{0}^{L}X_n(x)X_m(x)dx = 0,\;\;\; n \ne m. $$ Este es un patrón general para los problemas de separación de variables. La solución general $u$ tiene la forma $$ u(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty}A_n X_n(x)T_n(t) $$ Los coeficientes $A_n$ están determinadas por la condición inicial $$ f(x) = u(x,0) = \sum_{n=1}^{\infty}A_n X_n(x) $$ porque $T_n(0)=1$ . Uso de la ortogonalidad, $$ \int_{0}^{L}f(x)X_m(x)dx = A_m\int_{0}^{L}X_m(x)^2dx \\ A_m = \frac{\int_{0}^{L}f(x)X_m(x)dx}{\int_{0}^{L}X_m(x)^2dx}. $$ Al parecer, $L=1$ en su problema. Y la función inicial $f$ se eligió convenientemente que fuera de la forma $$ f(x) = \sin(2\pi x) - 3\sin(6\pi x) \\ = X_2(x)-3X_6(x). $$ Así que eso se hizo para facilitar la búsqueda de los coeficientes $A_n$ porque $$ \int_{0}^{L}f(x)X_m(x)dx = 0,\;\;\; m \ne 2,6. $$ Puede detectar que la solución tiene que ser $$ u(x,t) = X_2(x)T_2(t)-6X_6(x)T_6(t). $$