¿Por qué es la ' matriz cambio de base ' llaman tales?

Question

"Vamos a $P$ ser el cambio de base de la matriz de a partir de una base $S$ a una $S'$ en un espacio vectorial $V$. Entonces, para cualquier vector $v \in V$ , $$P[v]_{S'}=[v]_{S} \text{ y, por lo tanto, } P^{-1}[v]_{S} = [v]_{S}$$

Es decir, si multiplicamos las coordenadas de $v$ en la base original $S$ por $P^{-1}$, podemos obtener las coordenadas de $v$ en la nueva base $S'$." - Schaum del Contornos: Álgebra Lineal. 4ª Ed.

Estoy teniendo un montón de dificultades para mantener estas matrices recta. Podría por favor alguien que me ayude a entender el razonamiento detrás (lo que me parece a mí como) la contra-intuitiva de nomenclatura de $P$ como la matriz de cambio de base de a$S$$S'$? Parece como $P^{-1}$ es la matriz que, en realidad, los cambios de coordenadas del vector en términos de la 'vieja' $S$ a un vector coordenado en términos de la 'nueva' $S'$...

Añadió:

"Considere la posibilidad de una base $S = \{u_1,u_2,...,u_n\}$ de un espacio vectorial $V$ sobre un campo $K$. Para cualquier vector $v\in V$, supongamos que $v = a_1u_1 +a_2u_2+...+a_nu_n$

Entonces el vector coordenado de $v$ en relación a la base $S$, lo que nos suponemos es un vector columna (a menos que de otra manera explícita o implícita), es se denota y se define por $[v]_S = [a_1,a_2,...,a_n]^{T}$. "

"Vamos a $S = \{ u_1,u_2,...,u_n\}$ ser un base de un espacio vectorial $V$, y vamos a $S'=\{v_1,v_2,...,v_n\}$ ser otro base. (Para referencia, se va a llamar $S$ el 'viejo' y $S'$ 'nueva' base.) Debido a $S$ es una base, cada vector de la 'nueva' $S'$ puede ser escrito únicamente como un lineal la combinación de los vectores en S; decir,

$\begin{array}{c} v_1 = a_{11}u_1 + a_{12}u_2 + \cdots +a_{1n}u_n \\ v_2 = a_{21}u_1 + a_{22}u_2 + \cdots +a_{2n}u_n \\ \cdots \cdots \cdots \\ v_n = a_{n1}u_1 + a_{n2}u_2 + \cdots +a_{nn}u_n \end{array}$

Deje $P$ ser la transposición de la anterior la matriz de coeficientes; es decir, que $P = [p_{ij}]$, donde $p_{ij} = a_{ij}$. Then $P$ es llamado el \textit{cambio de base de la matriz} de el 'viejo' $S$ a de la "nueva" base $S'$." - Schaum del Esquema: Álgebra Lineal 4ª Ed.

Estoy tratando de entender las definiciones anteriores con este ejemplo:

Vectores de la base de $\mathbb{R}^{2}: S= \{u_1,u_2\}=\{(1,-2),(3,-4)\}$ $S' = \{v_1,v_2\}= \{(1,3), (3,8)\}$ la matriz de cambio de base de a$S$$S'$$P = \left( \begin{array}{cc} -\frac{13}{2} & -18 \\ \frac{5}{2} & 7 \end{array} \right)$.

Mi comprensión actual es la siguiente: normalmente vectores como $u_1, u_2$ son escritos bajo la asunción de la forma habitual en que se $u_1 = (1,-2) = e_1 - 2e_2 = [u_1]_E$. Lo que en realidad lo $[u_1]_S = (1,0)$ y creo que esto sería cierto en general... Pero yo no soy realmente entender qué efecto si $P$ se supone que tiene en la base de vectores propios (creo entender el efecto de las coordenadas respecto a una base). Supongo que se podría calcular una matriz de $P'$ que tiene el efecto de $P'u_1, P'u_2,...,P'u_n = v_1, v_2,..., v_n$, pero sería algo?

Answer 1

La situación aquí está estrechamente relacionada con la siguiente situación: supongamos que tiene alguna función real $f(x)$ y quieres cambiar su gráfica a la derecha por una constante positiva $a$. Entonces la cosa correcta a hacer para la función de desplazamiento de $x$ más a la izquierda; es decir, la nueva función es $f(x - a)$. En esencia, se han desplazado el gráfico a la derecha por el desplazamiento de los ejes de coordenadas a la izquierda.

En esta situación, si usted tiene un vector $v$, expresado en alguna base $e_1, ... e_n$, y desea expresar en una nueva base $Pe_1, .... Pe_n$ (esta es la razón por la $P$ es llamada la matriz de cambio de base), luego se multiplica el número de vectores $v$ $P^{-1}$ con el fin de hacer esto. Usted debe cuidadosamente trabajar a través de algunos ejemplos numéricos para convencerse de que esto es correcto. Considere, por ejemplo, el caso sencillo en el que $P$ es la multiplicación por un escalar.

La lección aquí es que uno debe distinguir cuidadosamente entre los vectores y los componentes que se utilizan para expresar un vector en una determinada base. Vectores de transformación covariantly, pero sus componentes transformar contravariantly.

Answer 2

Todo el mundo que estudian el cambio de base de un asunto debe trabajar algunos ejemplos sencillos como el siguiente. Considere la posibilidad de esta base en $\mathbb{R}^2$:

$$ v_1 = (1,1) \qquad \text{y} \qquad v_2 = (1,-1) \ . $$

O, ya que estamos a la tensión de las bases y coordenadas cosa, podríamos escribir de esta manera

$$ v_1 = (1,1)_e \qquad \text{y} \qquad v_2 = (1,-1)_e \ , $$

desde estas son las coordenadas en la base estándar

$$ e_1 = (1,0) \qquad \text{y} \qquad e_2 = (0,1) \ . $$

La matriz de cambio de base de a $v$ $e$es

$$ P = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\\ 1 & -1 \end{pmatrix} \ . $$

Ahora, toma el vector

$$ u = 2v_1 - 3v_2 \ . $$

Sus coordenadas en la $v$ base de:

$$ u = (2,-3)_v \ . $$

Si desea obtener sus coordenadas en la $e$ (estándar), puede hacerlo a mano:

$$ u = 2v_1 - 3v_2 = 2(1,1)_e -3(1,-1)_e = (2-3, 2+3)_e = (-1, 5)_e \ . $$

Ahora, te das cuenta de que estas son exactamente las mismas operaciones que se hacen al realizar esta multiplicación de la matriz:

$$ P \begin{pmatrix} 2 \\\ -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\\ 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\\ -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 - 3 \\\ 2 + 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\\ 5 \end{pmatrix} \ . $$

Ejercicio. Tal vez ahora podría rehacer sí mismo la prueba de que el cambio de base teorema: tomar dos bases arbitrarias $v$ $e$ en no importa que el espacio vectorial, relacionadas por

$$ v_i = a^1_i e_1 + \cdots + a^n_i e_n \ , \qquad i = 1, \dots , n \ . $$

Escribir la matriz de cambio de base de a $v$ $e$(es decir, poner las coordenadas de la $v$ vectores como columnas, como en el ejemplo anterior):

$$ P = \begin{pmatrix} a^1_1 & \dots & a^1_n \\\ \vdots & \ddots & \vdots \\\ a^n_1 & \dots & a^n_n \end{pmatrix} \ , $$

tomar cualquier vector

$$ u = b^1v_1 + \cdots + b^nv_n \ , $$

y anota sus coordenadas en la $v$. Por último, saber sus coordenadas en la $e$ base (con la mano y con la ayuda de la matriz $P$).

Answer 3

Una de las razones principales es práctica. La matriz que convierte vectores en las nuevas coordenadas a las coordenadas antiguas es fácil de conseguir: usted acaba de poner sus nuevos vectores de la base como columnas de la matriz.

Entonces para encontrar la matriz va al revés, tienes que calcular la inversa de esta matriz.

Por lo tanto, tiene sentido poner el primer % uno $P$y el segundo un $P^{-1}$.