Se seleccionan al azar dos puntos en una línea de longitud $1$

Question

Se seleccionan al azar dos puntos en una línea de longitud $1$ . ¿Cuál es la probabilidad de que uno de los segmentos sea mayor que $\frac{1}{2}$ ? Los puntos pueden colocarse en cualquier lugar entre [0, 1], por ejemplo. Gracias.

Answer 1

La probabilidad es $3/4$ si los puntos $x$ y $y$ se eligen con probabilidad uniforme. Eso corresponde a la zona en color en la imagen de abajo.

Answer 2

Con probabilidad $\frac 12$ ambos puntos están en el mismo lado del punto medio, por lo que tenemos garantizado el éxito.

Si los puntos están en lados opuestos del punto medio(a probabilidad $\frac 12$ evento, con $P<\frac 12< Q$ digamos, entonces de nuevo con probabilidad $\frac 12$ tenemos $Q$ está más cerca $1$ que $P$ está cerca $\frac 12$ por lo que el segmento entre ellos tiene una longitud mayor que $\frac 12$ .

Por lo tanto, la probabilidad total es $$\frac 12+\frac 12\times \frac 12=\frac 34$$

Nota: esto equivale a preguntar cuán probable es que los tres segmentos formados por los dos puntos puedan formar un triángulo (lo anterior muestra que la respuesta es $\frac 14$ ). Se pueden encontrar muchas pruebas de ello, por ejemplo aquí

Answer 3

Ok supongamos que tomas algún punto $x\in[0,1/2]$ . Ahora tomando un segundo punto $y\in[0,1]$ Hay dos situaciones en las que se obtiene un segmento de longitud mínima $1/2$ . En primer lugar, si $y\le 1/2$ . En segundo lugar, si $y\ge x+1/2$ . Así que para tomar un primer punto $x$ la probabilidad de tener un segmento de la longitud deseada es $1/2+(1-1/2-x)=1 - x$ . Ahora integrando esto sobre $[0,1/2]$ se obtiene $3/8$ . Yu puede hacer lo mismo para $x\in[1/2,1]$ . Así que esto le da una oportunidad de $6/8$ .