corolario del axioma de completitud

Question

El corolario dice "Todo subconjunto no vacío $S$ de $\mathbb{R}$ que está acotado por debajo tiene un límite inferior mayor inf S.

La parte que no entiendo en la prueba es de dónde sacaron el conjunto $-S$ donde $-S=(-s : s\in S)$ ? ¿Lo crearon o lo utilizaron de alguna parte?

Prueba de ello: Sea $-S$ sea el conjunto $(-s : S\in S)$ ; $-S$ consiste en los negativos de los números en $S$ . Desde $S$ está acotado por debajo hay un $m$ en $\mathbb{R}$ tal que $m < s$ para todos $s\in S$ . Esto implica que $-m \geq -s$ para todos $s\in S $ Así que $m > u$ para todas las u del conjunto $-S$ Así, $-S$ está limitada por encima por $m$ .. El axioma de integridad 4.4 se aplica a $-S$ Así que $sup(S)$ existe... Hay algo más pero esas partes se dejan como ejercicio.

Answer 1

Básicamente lo crearon ellos. Se les da un conjunto $S$ que está acotado por debajo. El axioma de completitud se refiere a conjuntos que están acotados por arriba, así que hay que encontrar una forma de utilizarlo. Dado que la negación cambia el sentido de una desigualdad, es una forma de introducirla en el cuadro.

Answer 2

Si se sabe que existe un (único) menor límite superior de cualquier conjunto de reales que esté acotado por arriba, y se quiere demostrar que existe un (único) mayor límite inferior de un conjunto particular de reales que esté acotado por abajo, entonces es natural reflejar el conjunto particular sobre $0$ y aplicar lo que ya sabes al conjunto reflejado.