Optimización robusta: Utilizando el enfoque de Bertsimas y Sim para la formulación de modelos lineales (problema de maximización)

Question

Intenté utilizar el enfoque de Bertsimas y Sim para un modelo lineal incierto, pero la cuestión es que la respuesta que obtuve para el modelo lineal de Bertsimas y Sim cuando = 2 es diferente del resultado del modelo de Soyster, probé otros modelos inciertos y obtuve el mismo resultado para el de Bertsimas mientras que estaba completamente protegido contra la incertidumbre y el modelo del sistema.

El modelo Bertsimas & Sim: $$max \ P_r+P_n $$ $$\begin{cases} -\alpha_1 P_r + \alpha_2 P_N \le \omega_{12} \\ -\alpha_1 P_r + \alpha_2 P_N \ge \omega_{11} \\ -\alpha_1 P_N + \alpha_2 P_r \le \omega_{22} \\ -\alpha_1 P_N + \alpha_2 P_r \ge \omega_{21} \end{cases} $$ $$\begin{cases}P_r\ge0 \\ P_N\ge 0 \end{cases}$$

Modelo Bertsimas & Sims:

$$max \ P_r+P_n $$ $$\begin{cases} -\alpha_1 P_r + \alpha_2 P_N -\lambda_1 \eta -\mu_1 + \mu_2 \le \omega_{12} \\ -\alpha_1 P_r + \alpha_2 P_N -\lambda_1 \eta -\mu_1 + \mu_2 \ge \omega_{11} \\ -\alpha_1 P_N + \alpha_2 P_r -\lambda_2 \eta -\mu_1 + \mu_2\le \omega_{22} \\ -\alpha_1 P_N + \alpha_2 P_r -\lambda_2 \eta -\mu_1 + \mu_2\ge\omega_{21} \end{cases} $$

$$\begin{cases} \ \lambda_1 +\mu_1 \le \hat{\alpha_1} y_1 \\ \ \lambda_2 +\mu_1 \le \hat{\alpha_1} y_2 \\ \ \lambda_1 -\mu_2 \le -\hat{\alpha_2} y_2 \\ \ \lambda_2 -\mu_2 \le -\hat{\alpha_2} y_1 \\ \end{cases} $$ $$\begin{cases}P_r\ge0 \\ P_N\ge 0 \end{cases}$$ $$ \mu_1, \mu_2, y_1, y_2, \lambda_1, \lambda_ \ge 0 $$

Supongo que hay un problema con uno de los - detrás de $\mu \ or \ \hat{\alpha_2}$ pero no sé en qué me he equivocado

Gracias por su ayuda En adelante.

Answer 1

Así que tienes las limitaciones:

$$\begin{cases} \omega_{11}\le-\alpha_1 P_r + \alpha_2 P_N \le \omega_{12} \\ \omega_{21}\le-\alpha_1 P_N + \alpha_2 P_r \le \omega_{22} \end{cases} $$ con $\alpha_i \in [\bar{\alpha_i} - \hat{\alpha}_i, \bar{\alpha_i} + \hat{\alpha}_i]$ y como máximo $\Gamma$ de la $a_i$ pueden desviarse al mismo tiempo (por restricción).

Si no me equivoco, la contraparte robusta es:

$$\begin{cases} \omega_{11}\le-\alpha_1 P_r + \alpha_2 P_N - \Gamma||y_1||_\infty - ||\begin{pmatrix}P_r \hat{a}_1 \\ P_N \hat{a}_2\end{pmatrix}-y_1||_1 \\ -\alpha_1 P_r + \alpha_2 P_N + \Gamma||y_2||_\infty + ||\begin{pmatrix}P_r \hat{a}_1 \\ P_N \hat{a}_2\end{pmatrix}-y_2||_1 \le \omega_{12} \\ \omega_{21}\le-\alpha_1 P_N + \alpha_2 P_r - \Gamma||y_3||_\infty - ||\begin{pmatrix}P_r \hat{a}_1 \\ P_N \hat{a}_2\end{pmatrix}-y_3||_1\\ -\alpha_1 P_N + \alpha_2 P_r + \Gamma||y_4||_\infty + ||\begin{pmatrix}P_r \hat{a}_1 \\ P_N \hat{a}_2\end{pmatrix}-y_4||_1 \le \omega_{22} \end{cases} $$ Se pueden linealizar las normas con reformulaciones estándar. Por ejemplo, la primera restricción se convierte en $$\begin{cases} \omega_{11}\le-\alpha_1 P_r + \alpha_2 P_N - \Gamma u_1 - \sum_i v_{1i} \\ u_1 \geq y_{11}, u_1 \geq y_{12} \\ v_{11} \geq P_r\hat{a}_1 - y_{11}, v_{11} \geq -P_r\hat{a}_1 + y_{11} \\ v_{12} \geq P_N\hat{a}_2 - y_{12}, v_{12} \geq -P_N\hat{a}_2 + y_{12} \end{cases} $$ Esto se convierte en un absoluto lío, por lo que nos encantan las herramientas como YALMIP porque pueden hacer esto por nosotros.