¿Es correcta mi prueba a la pregunta?
En $\mathbb{C}$ tenemos que $i$ es la solución a $x^2 + 1 = 0 $ . Por lo tanto, si existe un homomorfismo de $\mathbb{C} \to \mathbb{R}$ hay una solución en $\mathbb{R}$ a
$ (x^2 + 1) = (0)$
$ (x^2)+ (1) = (0)$ por cierre bajo la propiedad de adición de homomorfismos
$ (x^2) + 1 = 0 $ desde $(1) = 1$ y $(0) = 0 $ en todos los homomorfismos de anillo
$ ((x))^2 = -1$
que no hay. Por tanto, no existe ningún homomorfismo de anillo de este tipo.
En su prueba, usted utiliza que $\phi(1)=1$ para cualquier homomorfismo de anillo, si esto es cierto depende de tu definición para aquellos (una cuestión de convención). Como has afirmado este hecho, asumo que esta es la configuración con la que estás trabajando, en cuyo caso tu prueba es correcta.
En el caso más general, $\phi(1)=\phi(1\cdot 1) = \phi(1)\cdot \phi(1) = (\phi(1))^2$ que siempre debe ser no negativo, ya que $\phi(1)$ es un número real. Pero entonces, análogamente a su prueba, $(\phi(x))^2 + \phi(1)=0$ y ambos son no negativos, por lo que $\phi(x)=0$ para todos $x$ . Por lo tanto, el homomorfismo de anillo $0$ sería entonces el único que cumple con sus requisitos (y obviamente no envía 1 a 1)
Una pequeña observación que puede ser útil: Como $\phi(1)^2=\phi(1)$ observamos que $\phi(1)^2-\phi(1)=\phi(1)\cdot (\phi(1)-1)=0$ Así que, o bien $\phi(1)=0$ lo que significa que $\phi(x)=\phi(x\cdot 1)=\phi(x)\cdot 0 = 0$ para todos $x$ o $\phi(1)=1$ tal que tenemos su definición de homomorfismos de anillos. Eso significa que la definición más general que he añadido sólo añade un nuevo homomorfismo, a saber $0$ .
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