Estaba resolviendo un problema de un sistema de dos partículas. Estábamos tomando la función de onda en general $\psi$ . Más tarde aproximamos esta función de onda de un sistema de dos partículas a una función de onda gaussiana doble. Mi pregunta es: ¿por qué a menudo aproximamos la función de onda de una partícula a la función de onda gaussiana? ¿Cuál es la ventaja de la función de onda gaussiana?
Respuestas
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Francesco Bernardini
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Por lo general, las razones estándar para utilizar (al menos didácticamente) paquetes de ondas gaussianas son que permiten obtener soluciones exactas para las integrales que las involucran, en lugar de depender de soluciones aproximadas. Además, los paquetes de ondas gaussianas satisfacen la relación de incertidumbre de Heisenberg entre las dispersiones de $\hat X$ y $\hat P$ con el signo =:
$$\langle\Delta \hat X^2\rangle \langle\Delta \hat P^2\rangle = \frac14\left|\langle [\hat X,\hat P]\rangle\right|^2$$
Si puede proporcionar más detalles sobre su problema, tal vez podamos encontrar alguna otra razón por la que sea útil considerar una función gaussiana.
David J. Sokol
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Normalmente, las funciones de onda son finitas dentro de un volumen y desaparecen fuera, debido a las condiciones de contorno. Hay muchas funciones de onda que se alejan de las funciones gaussianas, pero para las partículas libres en un haz colimado a cierta distancia grande la función de onda se parece a una gaussiana.
Si tomas dos haces que no se cruzan, no obtendrás un patrón de interferencia ni ninguna otra interacción. Así, la distribución gaussiana muestra la importancia de las desigualdades (¡implicadas!) para los haces que colisionan: sus anchos deben ser mucho mayores que la región de colisión. Entonces las anchuras (efectos de borde) se vuelven pequeñas y despreciables. Si es así, las gaussianas en la región de colisión se pueden aproximar aún más - por ondas planas con cierta energía-momento.
user206542
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Para describir una partícula mediante una onda necesitamos un paquete de ondas que tenga la misma velocidad, posición y momento que tiene la partícula.Generalmente podemos especificar una región de propagación de ondas superponiendo un número infinito de ondas.Pero si queremos especificar la posición podemos encontrar un tren de ondas (una única posición)superponiendo la onda. Y si queremos conocer el momento con exactitud tenemos que superponer las ondas de un rango finito de frecuencia angular.Pero una función de onda guasiana que también se puede encontrar a partir de la superposición de las ondas es la que puede describir bien tanto la posición como el momento con una incertidumbre finita satisfecha por la relación de incertidumbre.Y estamos salvados en el caso de la función de onda de una partícula libre.Puede ser que sea la función de onda más simple,es decir $$\psi(x,t)=A ~{\exp}[i(kx-{\omega}t)]$$ $$=A ~{\exp}[-{\frac {i}{\hbar}}(Et-px)]$$
