¿Puede el producto de una matriz diagonal y ortogonal escribirse siempre como producto de la misma matriz ortogonal y una matriz simétrica?

Question

Tome cualquier matriz diagonal $D$ y la matriz ortogonal $Q$ . Me siento intuitivamente seguro de que existe una matriz simétrica $S$ tal que se cumple la siguiente identidad

$$ DQ = QS $$

La intuición viene de la interpretación geométrica: una matriz diagonal es una escala alineada con los ejes, una matriz ortogonal es una rotación y/o reflexión, y una matriz simétrica es una escala alineada con alguna base ortogonal (no necesariamente los ejes). Así que cuando se escriben como transformaciones compuestas

$$ T_1(\mathbf{x}) = DQ\mathbf{x} \\ T_2(\mathbf{x}) = QS\mathbf{x} $$

parece obvio que, para cualquier $D$ y $Q$ se debería poder encontrar un $S$ que hace que las dos transformaciones sean equivalentes.

Pero tengo problemas para mostrarlo simbólicamente.

Answer 1

Hm. Creo que me he dado cuenta de lo que pasa al pulsar el botón de enviar. Si una izquierda multiplica ambos lados de la primera ecuación por $Q^T$ Entonces llegamos a una expresión de aspecto familiar:

$$ D Q = Q S \\ Q^T D Q = Q^T Q S \\ Q^T D Q = S $$

que se parece a la descomposición de valores propios. Y los valores propios para una matriz simétrica son ortogonales. Así que para una diagonal fija $D$ y ortogonal $Q$ se puede elegir el simétrico $S$ para los que los elementos diagonales de $D$ son los valores propios, y las filas de $Q$ (columnas de $Q^T$ ) son los vectores propios.