Sobre la divergencia de $s_n=\cos{\frac{\pi}{3}n}$ : Una prueba

Question

Pregunta:

Demostrar que $s_n=\cos{\frac{\pi}{3}n}$ es divergente.

Intento:

Supongamos que $\lim_{n\rightarrow \infty}(\cos{\frac{\pi}{3}n})=s$ , entonces dado un $\epsilon$ , digamos que $\epsilon=1$ podemos encontrar un $N\in\mathbb{N}$ para que $$\begin{vmatrix} (\cos{\frac{\pi}{3}n})-s\end{vmatrix}<1.$$ Si $n=6k+1$ ---para algunos suficientes $k\in\mathbb{N}$ entonces obtenemos $\lvert \frac{1}{2}-s\rvert<1$ y así $\frac{1}{2}<s<\frac{3}{2}$ Sin embargo, si $n=6k+3$ ---así como para algunos suficientes $k\in\mathbb{N}$ entonces obtenemos $\lvert -1-s\rvert<1$ y así $-2<s<0$ . Por lo tanto, ya que $s$ no puede satisfacer ambas desigualdades, $\lim_{n\rightarrow\infty}(\cos{\frac{\pi}{3}n})$ no existe

Answer 1

Su trabajo es correcto.

Sin embargo, como se ha sugerido anteriormente, una forma más fácil es simplemente mostrar que hay dos subsecuencias que convergen a límites diferentes.

En su caso, $s_{6n+1}$ converge a $0.5$ y $s_{6n+3}$ converge a $-1$ .

Answer 2

Debería ser algo así:

Supongamos que $\lim_{n\rightarrow \infty}(\cos{\frac{\pi}{3}n})=s$ , entonces dado un $\epsilon$ , digamos que $\epsilon=\frac{1}{4}$ podemos encontrar un $N\in\mathbb{N}$ para que $$\begin{vmatrix} (\cos{\frac{\pi}{3}n})-s\end{vmatrix}<1.$$ Si $n=6k+1$ ---para algunos suficientes $k\in\mathbb{N}$ entonces obtenemos $\lvert \frac{1}{2}-s\rvert<\frac{1}{4}$ y así $\frac{1}{4}<s<\frac{3}{4}$ Sin embargo, si $n=6k+3$ ---así como para algunos suficientes $k\in\mathbb{N}$ entonces obtenemos $\lvert -1-s\rvert<\frac{1}{4}$ y así $-\frac{5}{4}<s<-\frac{3}{4}$ . Por lo tanto, ya que $s$ no puede satisfacer ambas desigualdades, $\lim_{n\rightarrow\infty}(\cos{\frac{\pi}{3}n})$ no existe

Como ha aludido A.N.