Relación entre los operadores adjuntos, los operadores de clase de traza, los operadores compactos y los operadores de densidad en mecánica cuántica

Question

No sé mucho sobre el Análisis Funcional, pero me preguntaba lo siguiente:

En los espacios de Banach es posible definir para cada operador continuo $T:X \rightarrow Y$ un operador adjunto $T':Y' \rightarrow X'$ . Ahora he oído que el conjunto de Operadores de clase de traza es el espacio dual de todos los Operadores compactos $K(X,Y)$ .

Pregunta 1: ¿Significa esto que si $T$ es compacto, entonces $T'$ ¿es la clase de rastreo?

Supongo que no, pero el Teorema de Schauder nos dice que $T'$ también es compacto. Supongo que es más bien que por cada $T$ compacto, tenemos un mapa dual $T^*$ en el conjunto de Operadores de clase de traza tales que $T^*(T) \in \mathbb{K}$ .

Pregunta 2: ¿Es generalmente cierto que si $T$ es trace-class, entonces $T$ ¿es compacto?

Pregunta 3 ( si no puede responder a esta, no hay problema ): En Mecánica Cuántica definimos Operadores de densidad tales que son Operadores autoadjuntos semidefinidos positivos tales que $\text{Tr(T)=1}$ . Mi pregunta es: Dado que estos son obviamente Operadores de clase de traza, ¿son inducidos por algún Operador compacto $S$ tal que un Operador de densidad $T=S^*$ ?

Answer 1

Para responder a sus preguntas, utilizamos el hecho de que un operador sobre un espacio de Hilbert es compacto si y sólo si mapea alguna base ortonormal a una secuencia que converge a $0$ .

• Pregunta 1: No. Considere el operador en $\ell^2$ dado por $$T(\{x_k\}) = \{k^{-1}x_k\}$$ y denotar por $e_j$ la base estándar. $T$ es obviamente autoadjunto y $Te_j = j^{-1}e_j \to 0$ así que $T$ es compacto. Pero $T' = T$ no es trace-class ya que $$\sum_j |(e_j, Te_j)| = \sum_j j^{-1} = \infty.$$

• Pregunta 2: Sí. Si $T$ es de clase traza, entonces para cualquier base ortonormal $\{e_j\}$ tenemos $$\sum_j |(e_j, Te_j)| < \infty$$ y por lo tanto $T(e_j) \to 0$ . Por lo tanto, $T$ es compacto.

• Pregunta 3: Sí, pero sólo de forma trivial. $S = T$ te da lo que quieres ya que $T$ es autoadjunto y de clase de traza, por lo tanto compacto.

Pido disculpas si esto es incorrecto, pero por el enunciado de tu pregunta parece que estás un poco confundido sobre lo que significa la afirmación "los operadores de clase de traza son el dual de los operadores compactos". Esta afirmación no tiene mucho que ver con el adjunto de un operador compacto o de clase de traza. Significa que existe un isomorfismo isométrico del espacio de Banach de los operadores de clase traza sobre $H$ al espacio dual del espacio de Banach de operadores compactos sobre $H$ .