Problema con desigualdad $\min (x_1,x_2,\ldots,x_n)$

Question

que $0\le x_i$, $i=1,2,\ldots,n$% y $a_i=1+(i-1)d$, $d\in[0,2],\forall i\in\{1,2,3,\ldots,n\}$, mostrar que $$(1+a_n)\left(x_1+x_2+\cdots+x_n\right)^2\ge 2n \min(x_1,x_2,\ldots,x_n) \left(\sum_{i=1}^n a_i x_i\right)$ $

$n=1,2,3$ no es difícil demostrarlo, no estoy seguro qué hacer desde aquí, quiero saber de alguna manera tengo que comparar una forma de la expresión a $\min{(x_1,x_2,\ldots,x_n)}$?, pero ¿cómo? Estoy en la dirección correcta? pero no tengo ni idea cómo empezar a probarlo

Answer 1

En primer lugar, por el reordenamiento de la desigualdad, la suma en el lado derecho se maximiza cuando se $x_i$'s están dispuestos en orden ascendente. Por lo tanto, es suficiente para mostrar el caso de la $x_1 \le x_2 \le \cdots \le x_n$. En otras palabras, queremos mostrar $$ (1+a_n)(x_1 + \cdots + x_n)^2 \ge 2 \ n \, x_1,\, (a_1 \, x_1 + \cdots + a_n \, x_n). $$

En la segunda, supongamos $x_2 > x_1$, podemos substituir $x_n$$x_n + x_2 - x_1$, y, a continuación, reemplace $x_2$$x_1$. Esto dejaría suma $x_1 + \cdots + x_n$ sin cambios, mientras que el aumento de la suma en el lado derecho. También podemos hacer esto para $x_3, \dots, x_{n-1}$. Esto significa que solo tenemos que mostrar el caso de la $x_1 = x_2 = \cdots = x_{n-1} \le x_n$. Definir $\Delta \equiv x_n - x_1$, sólo tenemos que demostrar que \begin{align} (1+a_n)(n \, x_1 + \Delta)^2 \ge 2 \, n \, x_1 \, (a_1 \, x_1 + \cdots + a_n \, x_1 + a_n \, \Delta) \\ = 2 \, n \, x_1 \, \left[ \frac{1}{2}(1 + a_n) \, n \, x_1 + a_n \, \Delta\right]. \end{align}

Pero esta desigualdad es obvia, para \begin{align} (1+a_n)(n \, x_1 + \Delta)^2 &= (1 + a_n) \, n \, x_1 \, n \, x_1 +2 (1 + a_n) \, n \, x_1 \, \Delta + (1 + a_n) \, \Delta^2 \\ &\ge \frac 1 2 (1 + a_n) 2 \, n \, x_1 \, n \, x_1 +2 \, a_n \, n \, x_1 \, \Delta \\ &=2 \, n \, x_1 \left[ \frac{1}{2}(1+a_n) \, n \, x_1 + a_n \, \Delta \right]. \end{align} Q. E. D.