Demuestra que la suma de las medianas de un triángulo es mayor que el semiperímetro

Question

Demuestra que la suma de las medianas de un triángulo es mayor que el semiperímetro

Intenté trabajar hacia atrás. Es decir, supuse que $$AF + BE + DC > \frac{AB + BC + AC}{2}$$ es cierto. Entonces se me ocurrió $AD + BF + EC < AF + BE + DC$ al final.

Answer 1

$M$ es el punto medio de $AB$ y $m_c$ son las medianas procedentes de $C$ . También tenemos que $AB=c$ , $BC=a$ y $AC=b$ .

Entonces en el triángulo $CMA$ tenemos, por la desigualdad del triángulo

$$b<m_c+\frac{c}{2}\quad (1)$$

y en el triángulo $CMB$ tenemos, por la desigualdad del triángulo

$$a<m_c+\frac{c}{2}\quad (2)$$

Así que.., $(1)+(2)$ danos,

$$a+b<2m_c+c \quad (3)$$

De manera similar, tenemos

$$a+c<2m_b+b\quad (4)\\ b+c<2m_a+a\quad (5)$$

ahora $(3)+(4)+(5)$ obtenemos

$$m_a+m_b+m_c>\frac{a+b+c}{2}$$

Answer 2

Por la desigualdad del triángulo $$\sum_{cyc}\left(\frac{2}{3}m_a+\frac{2}{3}m_b\right)>\sum_{cyc}c.$$ Por lo tanto, $$m_a+m_b+m_c>\frac{3}{4}(a+b+c)>\frac{1}{2}(a+b+c)$$

Answer 3

Aplicando la desigualdad de los triángulos a cada triángulo azul tenemos $$\begin{aligned}\frac23m_a+\frac13m_b&>\frac{c}{2}\\ \frac23m_b+\frac13m_c&>\frac{a}{2}\\ \frac23m_c+\frac13m_a&>\frac{b}{2} \end{aligned}$$

Ahora al sumarlos todos obtenemos la desigualdad deseada.

Answer 4

No se puede demostrar una afirmación asumiendo que es verdadera y trabajando hacia atrás (aunque se podría derivar una contradicción y así demostrar que la afirmación es no cierto, pero eso no es lo que se pretende con esta pregunta).

Piensa en los triángulos que tienen una mediana como lado. Utiliza la desigualdad del triángulo para derivar tres desigualdades (una para cada mediana) que tengan la forma mediana > alguna expresión. Luego suma estas desigualdades para encontrar un límite inferior en la suma de las medianas.