Encontrar el determinante de una matriz grande

Question

Me encontré con este pregunta en línea:

$$A=\begin{bmatrix}5&6&&\cdots&6 \\6&5&6&\cdots&6 \\&&\ddots&& \\6&\cdots&6&5&6 \\6&\cdots&&6&5 \end{bmatrix}\in \mathbb R^{82\times 82}$$

También encontré una manera de resolver esto en Chegg:

¿Hay una forma mejor de resolver este problema, tal vez reduciéndolo a la forma triangular superior?

Answer 1

Una matriz en la que cada entrada es $1$ tiene valores propios $0,0,0,0,..., 0,n.$ Para todas las entradas $6,$ obtenemos $0,0,0,0,..., 0,6n.$ A continuación, reste $I$

Para la Ley de Inercia de Sylvester... el resultado confirma que $n-1$ valores propios son cero, entonces un único valor propio positivo. Podemos comprobar que el valor propio no nulo es $n$ $$ Q^T D Q = H $$ $$\left( \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{rrr} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right) = \left( \begin{array}{rrr} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ \end{array} \right) $$

$$ Q^T D Q = H $$ $$\left( \begin{array}{rrrr} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{rrrr} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{rrrr} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right) = \left( \begin{array}{rrrr} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ \end{array} \right) $$

$$ Q^T D Q = H $$ $$\left( \begin{array}{rrrrr} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{rrrrr} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{rrrrr} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right) = \left( \begin{array}{rrrrr} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \end{array} \right) $$

Answer 2

Renderiza el producto de los valores propios.

Dejemos que $M$ sea la matriz y $I$ sea la matriz de identidad. Entonces $M+I$ que se compone de todos los $6$ tiene rango $1$ , lo que significa que el valor propio $-1$ tiene multiplicidad $82-1=81$ . Hay un valor propio más con multiplicidad $1$ que se obtiene observando que todos los valores propios, incluida la multiplicidad, deben sumar la traza de $M$ . El rastro es $410$ El otro $81$ valores propios (todos $-1$ ) suman $-81$ por lo que el último valor propio es $410-(81×(-1))=491$ .

Entonces el determinante es $(-1)^{81}×491=\color{blue}{-491}$ .

Answer 3

Se puede generalizar: existe una fórmula general para el $n{\times}n$ determinante $$D_n(a,b)=\begin{vmatrix}b & a & a &\dots &a\\ a & b& a&\dots&a \\\vdots&\vdots&\vdots&\dots&\vdots\\a&a&a&\dots &b \end{vmatrix}.$$

Considere la $n{\times}n$ matriz $A$ con todos los coeficientes iguales a $a$ . Su rango es $1$ Así que $\dim(\ker A)=n-1$ y su traza es $na$ por lo que su polinomio característico es $$\chi_A(X)=\det(XI_n-A)=X^{n-1}(X-na).$$ On en déduit que \begin{align} D_n(a,b)&=\det\bigl((b-a)I_n+A\bigr)=(-1)^n\det\bigl((a-b)I_n-A\bigr)\\ &= (-1)^n(a-b)^{n-1}\bigl((a-b)-na\bigr)=\color{red}{(b-a)^{n-1}\bigl(b+(n-1)a\bigr)}. \end{align}

En el último ejemplo dado, $a=6$ , $b=5$ , $n=82$ para que, efectivamente, obtengamos $\;(-1)^{81}(5+81\cdot 6)=-491$ .