epsilon-delta encontrar una relación para $\epsilon$ y $\delta$

Question

Así que tengo el siguiente problema:

$\lim_{x\to -1}$ $\frac{x+1}{x^2-1}$ $=\frac{-1}{2}$

De la utilización de la definición $|f(x)-L|<\epsilon$

Tengo

$$\frac{|1+x|}{2|x-1|}$$

Tengo el control sobre $|x-a|<\delta$

Que en mi caso es $|x-(-1)|<\delta$

es decir $$|x+1|<\delta$$

Como no tengo ningún control sobre $\frac{1}{2|x-1|}$

Supuse que $\delta \le 1$

Siguiendo el procedimiento para encontrar el intervalo para $\frac{1}{2|x-1|}$

Tengo $$-6<2(x-1)<-2$$

de

$$|x+1|<\delta$$

Ahora usando lo que sé de $$\frac{|1+x|}{2|x-1|} <\epsilon$$

junto con

$$|x-(-1)|<\delta$$

Lo que me hizo $$|x+1|<-2\epsilon$$

por lo que

$$\delta=-2\epsilon$$

Lo que aparentemente está mal, debería haber sido $\delta=2\epsilon$ en su lugar.

¿Qué estoy haciendo mal en mis cálculos? Gracias de antemano.

Answer 1

Has conseguido

$$-6 < 2(x-1) < -2$$

Como el valor absoluto es una función decreciente cuando el dominio es el conjunto de los números negativos, esto implica que

$$2 < 2|x-1| < 6$$

$$1< |x-1| < 3$$

$$\frac13<\frac{1}{|x-1|}<1$$

$$\frac{|1+x|}{2|x-1|}<\frac{\delta}{2}$$