Prueba $f$ no es integrable de Riemann, sino que es Lesbesgue con una definición que implica funciones escalonadas simples

Question

Estoy familiarizado con la prueba de demostrar que $f:[0,1]\to\mathbb{R}$ , donde $$f(x)=\begin{cases} 0 & \text{if} \, \, x\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q} \\ 1 & \text{if} \, \, x \in \mathbb{Q} \end{cases}$$ no es integrable de Riemann con la definición tradicional de integración de Riemann con sumas de Darboux y particiones de intervalos, etc. Sin embargo, quiero mostrar el mismo resultado con una definición alternativa. Además, quiero demostrar que es integral de Lesbesgue utilizando también una definición particular.

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Definición: Una función $f$ se dice que es integrable de Riemann si para todo $\epsilon>0$ existen funciones escalonadas simples $g,h$ tal que $g \leq f \leq h$ y $\int h - g < \epsilon.$

Definición: Por función escalonada simple entendemos una combinación lineal finita de funciones características sobre intervalos semiabiertos, es decir, si $s$ es una función simple entonces: $$s:=\lambda_1 \chi_{I_{1}} + \dots + \lambda_n \chi_{I_{n}}$$ donde $\lambda_j$ son escalares y $I_j$ son intervalos semiabiertos para $1 \leq j \leq n$ .

Definición: Una función de valor real $f$ definido en $\mathbb{R}^n$ se dice que es integrable por Lesbesgue si existe una secuencia de funciones escalonadas simples, $(f_n)$ de manera que se cumplan las dos condiciones siguientes:

a) $\quad \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \int |f_n| < \infty$

b) $\quad f(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^\infty f_n(x) \quad \forall x \in\mathbb{R}^n$ tal que $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} |f_n| < \infty.$

Entonces, la integral de $f$ se define como: $$\int f = \sum_{n=1}^{\infty} \int f_n.$$

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No estoy seguro de cómo mostrar el resultado con esta definición, pero estoy pensando en hacerlo por contradicción, supongamos $f$ es integrable de Riemann, entonces hay dos funciones escalonadas simples $g$ y $h$ tal que $g \leq f \leq h$ . Entonces, tal vez podríamos elegir una secuencia $(g_n)$ y $(h_n)$ tal que $g_n \to g$ y tomar subsecuencias tales que cada $g_n \in \mathbb{Q}$ para todos $n$ , y de forma similar $h_n \to h$ y tomar subsecuencias tales que cada $h_n \in \mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$ para todos $n$ Así que $\int h - g = 1$ que no es inferior a $\epsilon$ para todos $\epsilon>0$ . Sin embargo, esto no se siente del todo bien.

Entonces, en cuanto a demostrar que es integrable por Lesbesgue con esta definición, estoy pensando en enumerar una secuencia de números racionales $\left\{ q_1 , q_2 , \dots \right\}$ tal que $f_n = q_n$ y usando eso pero como mis funciones simples, pero estoy teniendo problemas para formalizarlo con esta definición.

Answer 1

En cuanto a la primera parte, como cualquier intervalo contiene tanto puntos racionales como irracionales, una función escalonada simple $\ge f$ debe ser $\ge 1$ en todas partes en $I=[0,1]$ y una función escalonada simple $\le f$ debe ser $\le 0$ en todas partes en $I.$

Pensaba que tenía la segunda parte resuelta, pero justo cuando terminé de escribir mi respuesta, vi que estaba mal o al menos incompleta. La voy a publicar de todas formas, porque está muy cerca, y creo que se puede terminar.

Es suficiente con encontrar para cada $q\in I\cap \mathbb Q,$ una secuencia de funciones escalonadas simples $f_{q,n}$ tal que $$\sum_{n=1}^{\infty}{f_{q,n}(x)}= \begin{cases} \infty, &x=q\\ 0,&x\in I\setminus\mathbb Q \end{cases} $$ No he especificado el valor de la suma en los racionales en $I$ que no sea $q$ . Va a ser $\le 0$ en esos puntos. La dificultad que estoy teniendo es arreglar que para cualquier $x\in I$ sólo hay un número finito de $q$ tal que $\exists n, f_{q,n}(x)< 0.$ De la construcción se desprende que para cualquier $q$ hay a lo sumo uno de estos $n$ .

Dado que la unión contable de conjuntos contables es contable, podemos ordenar la $f_n,q$ en una secuencia $f_n$ con la propiedad requerida: $$\sum_{n=1}^{\infty}{f_n(x)}= \begin{cases} \infty, &x\in I\cap \mathbb Q\\ 0,&x\in I\setminus\mathbb Q \end{cases} $$ Para construir $f_{n,q}$ para un determinado $q\in I\cap\mathbb Q,$ elegir una secuencia estrictamente decreciente de números racionales $\varepsilon_n \rightarrow 0$ tal que $[q,q+\varepsilon_n)\subset I, n=1,2,3\dots.$ Ahora para $n=1,2,3\dots,$ definir $$f_{q,2n-1}=n\chi_{[q,q+\varepsilon_n)},\\ f_{q,2n}=-n\chi_{(q,q+\varepsilon_n]}$$

Si no fuera por el requisito de "intervalo semiabierto", podríamos hacer que el intervalo en la definición de $f_{q,2n}$ igual a $(q,q+\varepsilon_n)$ y habríamos terminado. Ahora parece que tenemos que controlar de alguna manera el $\varepsilon_n$ (que dependen de $q,$ recuerde) de modo que ningún punto aparezca como punto final superior del intervalo más de un número finito de veces.

Esto parece sencillo, pero no he resuelto todos los detalles. Organizar los elementos de $I\cap\mathbb Q$ en secuencia: $q_1, q_2, \dots.$ No hay ningún problema para encontrar $\varepsilon_n$ para $q_1$ . Para $q_2$ elegir una secuencia $\varepsilon_n'\rightarrow 0.$ Desde $q_1+\varepsilon_n\rightarrow q_1, q_2+\varepsilon_n'\rightarrow q_2,$ sólo un número finito de los $q_2+\varepsilon_n'$ puede estar en la secuencia $q_1+\varepsilon_n,$ y podemos simplemente eliminar el correspondiente $\varepsilon_n'$ de la secuencia. Un argumento similar funciona para $q_k,$ porque tenemos a lo sumo un número finito de $\varepsilon$ para descartar de cada uno de los $k-1$ secuencias precedentes.

Creo que esto es un esbozo de una prueba válida, pero hay que limpiarla, obviamente. El único otro detalle es que el argumento no funciona en $q=1,$ donde no hay intervalo $[q,q+\varepsilon)\subset I,$ pero un argumento simétrico funciona.