equivalencia topológica de las EDOs

Question

Dejemos que $n$ sea un número entero no negativo. $\;\;$ Dejemos que $\: f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n \:$ y $\: g : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n \:$ sea Lipschitz .

Definir la relación $\stackrel{f}{\sim}$ en $\mathbb{R}^n$ por

$u \stackrel{f}{\sim} v \;\;$ si y sólo si $\;\; u$ y $v$ están en el mismo órbita del sistema dinámico determinado por $f$ .

Definir la relación $\stackrel{g}{\sim}$ de manera similar. $\:$ $\stackrel{f}{\sim}$ y $\stackrel{g}{\sim}$ son obviamente relaciones de equivalencia.

Definir $\:\langle X,\mathcal{T}_X\rangle\:$ y $\:\langle Y,\mathcal{T}_Y\rangle\:$ para ser el espacios topológicos cotizados de $\mathbb{R}^n$ por $\stackrel{f}{\sim}$ y $\stackrel{g}{\sim}$ respectivamente.

Supongamos que $X$ y $Y$ son homeomórficos. $\;\;$ ¿Se deduce que existe un homeomorfismo

$h : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n \:$ tal que para todos los miembros $u$ y $v$ de $\mathbb{R}^n$ , $\: u \stackrel{f}{\sim} v \:$ si y sólo si $\: h(u) \stackrel{g}{\sim} h(v) \:\:$ ?

Answer 1

Asumo que los sistemas dinámicos en cuestión son semigrupos generados por $f$ y por $g$ . Entonces la respuesta es negativa: Tome $n=2$ , $f$ , $g$ rotaciones de diferentes órdenes. Entonces los espacios cotizados son homeomorfos a ${\mathbb R}^2$ pero los grupos generados por $f$ y $g$ no son equivalentes a la órbita.

O, tal vez quieres decir que $f$ y $g$ son campos vectoriales y estás viendo los flujos que generan? Entonces la respuesta sigue siendo negativa y el ejemplo que conozco es similar al ejemplo discreto anterior. Primero, considera la acción del círculo $\rho$ en la 3ª esfera unitaria en ${\mathbb C}^2$ ; $\rho$ viene dada por $\rho(z)(u,v)=(z^pu, z^q v)$ , donde $|z|=1$ . Piensa en esta acción como un flujo generado por un campo vectorial suave. Entonces el espacio cociente de $S^3$ por esta acción es $S^2$ . Sin embargo, las acciones no son (típicamente) equivalentes a la órbita, por ejemplo, para $p=1,q=1$ y $p=2, q=3$ . En cuanto a $S^3$ como la compactación de 1 punto de ${\mathbb R}^3$ se puede modificar ligeramente el ejemplo anterior para que el punto en el infinito sea fijo (y la acción sea por ${\mathbb R}$ no $S^1$ aunque todas las órbitas menos una son círculos). Entonces se obtiene un ejemplo en ${\mathbb R}^3$ .