¿Es una suma de movimientos brownianos un proceso gaussiano?

Question

Me preguntaba si la siguiente suma de un movimiento browniano $\{W_t, t\geq 0\}$ también es un proceso gaussiano: $$ X_t:= W_t +W_{t/2} $$ Mi intento:

Elija $t_1,\ldots,t_n$ y $v_1,\ldots,v_n$ al azar, si podemos mostrar $v_1X_{t_1}+\ldots+v_nX_{t_n}$ se distribuye normalmente, hemos terminado y sabemos que $X_t$ es un proceso gaussiano.

Para demostrarlo, queremos reescribir $v_1X_{t_1}+\ldots+v_nX_{t_n}$ como una suma de incrementos independientes del movimiento browniano $W_t$ ya que sabemos que la suma de normales independientes vuelve a ser normal.

Obsérvese que el conjunto de todos los puntos para los que evaluamos $W_t$ será: $\{t_{1/2},t_1,t_{3/2},\ldots,t_{\lfloor{n/2}\rfloor},t_{n/2},t_{\lfloor{n/2}\rfloor+1},\ldots,t_{n-1},t_n\}$ . Por lo tanto, se puede reescribir la suma $v_1X_{t_1}+\ldots+v_nX_{t_n}$ como la suma de normales independientes y por tanto se distribuye normalmente y $X_t$ es un proceso gaussiano.

Pensamientos

¿Es correcto mi enfoque? Tengo la impresión de que me falta algo y que mi resultado no es correcto. ¿Existe una forma mejor de enfocar las preguntas con respecto a si alguna transformación de los movimientos brownianos es un proceso gaussiano?

Answer 1

Si sabes que el movimiento browniano $(W_t)_{t \geq 0}$ es un proceso gaussiano, es decir, que $\sum_{j=1}^m c_j W_{s_j}$ es gaussiano para cualquier $c_j \in \mathbb{R}$ y $s_1,\ldots,s_m>0$ entonces hay una manera más fácil de demostrar la afirmación:

Toma $0<t_1 < \ldots<t_n$ y $d_1,\ldots,d_n \in \mathbb{R}$ entonces

$$\sum_{j=1}^n d_j X_{t_j} = \sum_{j=1}^n d_j W_{t_j} + \sum_{j=1}^n d_j W_{t_j/2}. \tag{1}$$

Al renombrar/etiquetar, podemos escribir la suma del lado derecho en la forma $\sum_{j=1}^{2n} c_j W_{s_j}$ para los coeficientes adecuados $c_j$ y tiempos $s_j>0$ . Desde $(W_t)_{t \geq 0}$ es un proceso gaussiano, por lo que se deduce que el lado derecho (por tanto, también el lado izquierdo) de $(1)$ es gaussiano.