Integral de Cálculo Impropia

Question

Tengo la siguiente integral

$\int_0^\infty\frac{\partial}{\partial\alpha}(1-2x)dx$ ,

con $\alpha$ independiente de $x$ . ¿Está definido? Si es así, ¿la respuesta es cero? Sigo leyendo que una integral definida de cero es cero pero no me convence. ¿Se deduce eso de

$\int_0^\infty0dx=0\lim_{b\rightarrow\infty}\int_0^bdx=0\lim_{b\rightarrow\infty}x]_0^b=0$ ?

Mi problema con este cálculo es que tengo que multiplicar el cero por el infinito que creo que no está definido. Gracias por su tiempo.

Answer 1

En la teoría de Lebesgue, los ceros por el infinito son iguales a cero, así que tu integral está bien definida y su valor es efectivamente 0: $$\int_{0}^{\infty} 0.dx = 0.\mu({\mathbb{R})}= 0$$

Cuidado, no se puede decir $\lim{f(x).g(x)}$ con $\lim_{x\to\infty} f(x) = \infty$ y $\lim_{x\to\infty} g(x) = 0$ en general, difícil: Por ejemplo

• para $g(x)=x^2$ y $f(x)= \frac{1}{x}$ , $\lim_{x\to\infty} f(x).g(x) = \infty$
• para $g(x)=x$ y $f(x)= \frac{1}{x}$ , $\lim_{x\to\infty} f(x).g(x) = 1$
• para $g(x)=x$ y $f(x)= \frac{1}{x^2}$ , $\lim_{x\to\infty} f(x).g(x) = 0$

Answer 2

\begin{align*} \int_0^\infty\frac{\partial}{\partial\alpha}(1-2x)dx &=\int_0^\infty0dx\\ &=\lim_{b\rightarrow\infty}\int_0^b0dx\\ &=\lim_{b\rightarrow\infty}0\\ &=0 \end{align*} No es necesario multiplicar el cero por un infinito. En cambio, sólo necesitas conocer el límite de una función constante $f(b)=\int_0^b0dx=0$ es $0$ cuando $b\rightarrow\infty$ .

Answer 3

Sí, la respuesta es $0$ y no estás multiplicando $0$ por $\infty$

Tenga en cuenta que $$\int_0^\infty0dx=$$

$$\lim_{b\rightarrow\infty}\int_0^b 0dx=$$

$$\lim_{b\rightarrow\infty}0=0$$