Subgrupo de torsión o no torsión de $H_i$ no definen una teoría de la homología.

Question

Necesito demostrar que si dejamos $T_n(X,A)$ denotan el subgrupo de torsión de $H_n(X,A)$ entonces el functor $(X,A)\mapsto T_n(X,A)$ con los obvios homomorfismos inducidos y los mapas de frontera no definen una teoría de homología.

Usando los axiomas que nos da Hatcher, mi conjetura es encontrar mapas

$\tilde{H}_n(X/A)\rightarrow \tilde{H}_{n-1}(A)$

$\downarrow\hspace{3 cm}\downarrow$

$\tilde{H}_n(Y/B)\rightarrow \tilde{H}_{n-1}(B)$ .

de manera que $\tilde{H}_{n-1}(A)$ tiene torsión cero o $\tilde{H}_n(Y/B)$ tiene torsión cero, pero no ambas. Entonces, el diagrama de $T_i$ no será conmutativo (también tengo que asegurarme de que no hay mapas triviales). El mapa más sencillo que se me ocurre sería

$\mathbb{Z}_2\rightarrow \mathbb{Z}$

$\downarrow\hspace{1 cm}\downarrow$

$\mathbb{Z}_2\rightarrow \mathbb{Z}_2$ .

pero no conozco ningún espacio que tenga $H_i=\mathbb{Z}_2$ para $i$ incluso (al menos Hatcher no repasó ningún espacio de este tipo antes de esta pregunta). Sólo quiero saber si este es el camino correcto, o si estoy equivocado y la conmutatividad, de hecho, se mantiene, y debo considerar otra cosa.

Answer 1

Para $T_n$ para ser una teoría de homología, debe respetar el axioma de exactitud; es decir, a cualquier par de espacios $(X,A)$ debería haber una secuencia exacta larga inducida $$ \cdots\rightarrow T_n(A)\rightarrow T_n(X)\rightarrow T_n(X,A)\rightarrow T_{n-1}(A)\rightarrow\cdots.$$ Pero si tomamos la secuencia corta exacta $0\rightarrow\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Z}_2\rightarrow 0$ y pasando a los subgrupos de torsión se obtiene la secuencia no exacta $0\rightarrow 0\rightarrow 0\rightarrow\mathbb{Z}_2\rightarrow 0$ . Así que para mostrar $T_n$ no es una teoría de homología, basta con exhibir la secuencia exacta anterior en la LES para la homología ordinaria de un par. Así pues, tomemos $X$ para ser la banda de Möbius, y $A$ para ser su límite; entonces la LES para la homología ordinaria (reducida) se simplifica a la secuencia exacta corta $$ H_1(A)\rightarrow H_1(X)\rightarrow H_1(X,A)\rightarrow 0.$$ Ahora sólo observe que $H_1(A)=\mathbb{Z}$ , $H_1(X)=\mathbb{Z}$ y $H_1(X,A)=\mathbb{Z}_2$ .

Puede mostrar $H_1(X,A)=\mathbb{Z}_2$ de dos maneras diferentes. En primer lugar, hay que tener en cuenta que si tomo el círculo "central" de la banda de Möbius $X$ entonces $X$ deformación se retrae a este círculo. El límite $A$ corresponde a envolver dos veces este círculo. Así que el mapa de inclusión $i:\ A\rightarrow X$ induce un mapa sobre la homología $i_*:\ H_1(A)\rightarrow H_1(X)$ que es la multiplicación por $2$ ; así en el SES anterior, $H_1(X,A)$ es el cokernel de este mapa, es decir $\mathbb{Z}_2$ .

Alternativamente, $H_1(X,A)$ es la primera homología del espacio obtenido al tomar el cono sobre $A$ (llámalo $CA$ ), y adjuntando el límite a la copia de $A$ en $X$ . Ahora $A$ es sólo un círculo, por lo que $CA$ es sólo un cono regular, topológicamente un disco $D^2$ . Adjuntar este disco a $A$ en $X$ significa fijar el límite de $D^2$ hasta el límite de la banda de Möbius $X$ Esto se conoce más comúnmente como $\mathbb{RP}^2$ . Así que $H_1(X,A)\cong H_1(\mathbb{RP}^2)=\mathbb{Z}_2$ .