Dejemos que $(M, g)$ sea una variedad riemanniana (sin límites) y sea $p \in M$ . Considere un lineal $2$ -avión $P$ en $T_p M$ y que $C_r$ sea un círculo en $P$ de radio $r$ y centrado en $0$ (para $r$ suficientemente pequeño). ¿Cómo podemos demostrar que $$\mathrm{Length}(\mathrm{exp}_p(C_r)) = 2 \pi \left(r - \frac{\mathrm{sec}(P)}{6} r^3 + O(r^4) \right), $$ donde $\mathrm{exp}_p$ es el mapa exponencial de Riemann en $p$ y $\mathrm{sec}(P)$ es la curvatura de la sección del plano $P$ ?
He intentado utilizar la definición de longitud: la curva $\mathrm{exp}_p(C_r)$ puede parametrizarse como $$\gamma : [0,2\pi] \to M, \quad \gamma(t) = \mathrm{exp}_p (r\cos(t) v + r\sin(t) w), $$ donde $\{v, w\}$ es una base ortonormal para $P$ . Entonces, sabemos que $$\mathrm{sec}(P) = R_p(v, w, w, v), $$ donde $R$ es el $(0, 4)$ versión del tensor de curvatura de Riemann, y tenemos que \begin{align} \mathrm{Length} (\gamma) &= \int_0^{2\pi} |\dot{\gamma}(t)|dt \\ &= \int_0^{2\pi} \left| \left( d \left(\mathrm{exp}_p \right) \right)_{r\cos(t) v + r\sin(t) w} \left( -r\sin(t)v + r\cos(t)w \right) \right| dt, \end{align} pero no estoy seguro de cómo continuar, ya que no sé exactamente cómo calcular la diferencial del mapa exponencial en esos puntos concretos.
Pensé en utilizar el hecho de que, como $r$ es lo suficientemente pequeño, la imagen de $\gamma$ está contenida en una carta de coordenadas normales de Riemann, llámese $(x^1, \cdots, x^n)$ . Entonces, en estas coordenadas, las componentes de la métrica de Riemann satisfacen $$g_{ij} = \delta_{ij} - \frac{1}{3} \sum_{k, l} R_{iklj}(p)x^k x^l + O(|x|^3), $$ donde $R_{ikjl}$ son los componentes del $(0,4)$ versión del tensor de curvatura de Riemann (es el ejercicio 10.1 de la obra Introduction to Riemannian manifolds, 2ª edición, de Lee). Sin embargo, no sé cómo utilizarlo.
