Conservación de la corriente de Noether

Question

En Peskin ecuación 2.12

$$ \partial_\mu j^\mu(x) = 0, \quad {\rm for} \quad j^\mu(x) = \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\Delta\phi - \mathcal{J}^\mu $$

¿Por qué el actual $j^\mu(x)$ se conserva cuando $\partial_\mu j^\mu = 0$ ?

Creo que la corriente se conserva sólo cuando $\int d^2x\,\vec{j}\cdot\vec{n} = 0$ , (utilice el teorema de la divergencia)

así que $j^\mu$ ( $\mu = 1, 2, 3$ ) debe ser $0$ en el límite espacial.

Esta condición que $j^\mu(x)=0$ ¿es sólo una suposición?

Answer 1

La ecuación implica un ecuación de continuidad . Más concretamente, escriba $\partial_\mu j^\mu=0$ en forma de componentes te da exactamente la ecuación de continuidad (si identificamos la componente temporal como la densidad, y la componente espacial como la corriente).

Una ecuación de continuidad significa que el cambio de la corriente (con respecto al tiempo) dentro de un volumen es igual al flujo que entra/sale de él. Entonces, no puede crearse de la nada. Esto es lo que se entiende por ser conservado.

Answer 2

Tenga en cuenta que la corriente $j^\mu$ es una corriente en el espaciotiempo 4D: $j^\mu = (\rho,j^i)$ , donde $\rho$ es la densidad de carga y $j^i$ es la corriente tradicional en 3D.

La conservación de la carga establece entonces que para un volumen dado, el cambio de carga corresponde al flujo total en el volumen. $\int\limits_V \frac{\partial\rho}{\partial t} dv = -\int\limits_S j^i da_i = -\int\limits_V \partial_i j^i dv$ , donde $da_i$ es un elemento de superficie infinitesimal y el último paso utiliza el teorema de la divergencia.

Diferenciando ambos lados wrt volumen da: $$\frac{\partial\rho}{\partial t} = -\partial_i j^i$$ $$\frac{\partial\rho}{\partial t} + \partial_i j^i = 0 $$ $$ \partial_\mu j^\mu = 0 $$

Ahora derivamos la conservación de la corriente de la conservación de la carga. El libro lo hace al revés. Para ganar en intuición, piensa en la corriente como corriente eléctrica.

Answer 3

Veo dos buenas respuestas pero ninguna de ellas responde realmente a la pregunta del OP por completo así que daré una tercera... (Voy a decir algunas cosas que parece que ya sabes para completar)

En primer lugar, $\partial_\mu j^\mu = 0$ como mencionas debido a las ecuaciones del movimiento. O si quieres ir todo el lujo de usar el teorema de Noethers para la simetría de traslación.

Debes integrar esto sobre algún Volumen 4D:

$$\int dT dV \partial_\mu j^\mu = 0 \rightarrow \int dTdV \partial_T j^T = \int dTdV \partial_i j^i$$

Ahora podemos realizar una integración parcial (=el teorema de la divergencia) y encontrar:

$$\int dV j^T = \int dV \rho = \int_{\text{surface at }\infty} dT dA\vec{n}\vec{J_i}$$

El último término mide el flujo del campo que sale a través de alguna superficie en el infinito espacial. Pero el infinito espacial está infinitamente lejos, por lo que no puede haber ningún flujo que pase a través de él, de manera que podemos poner este término a 0. El resultado es:

$$\int dV j^T = 0$$

Esto es lo que queremos decir con una corriente conservada. Obsérvese que no es la corriente en sí la que se conserva, sino el valor integrado de su componente temporal. Así que lo que puede haberte confundido es este mal "nombre"...

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Una nota lateral interesante: algunos espaciotiempos tienen bordes que no están en el infinito espacial. Por ejemplo, la métrica de Schwarzschild para los agujeros negros tiene un horizonte de sucesos que no está en el infinito espacial.

En casos como éste no podemos afirmar simplemente que el flujo que atraviesa esta superficie es nulo y se requiere algún cuidado adicional. Pero siempre que nos ciñamos a Minkowski no hay problemas.

Espero que esto te haya ayudado y respondido a tu pregunta, si no es así házmelo saber :)