Mapa plano con fibras reducidas.

Question

Hola.

Dejemos que $f:X\rightarrow S$ sea un morfismo plano y suryente de espacios complejos con fibras reducidas sobre $S$ reducido. P1: ¿Es $X$ ¿también se ha reducido?

P2: ¿Se conserva la propiedad "fibra reducida" por el cambio de base dado por la normalización?

Rk: 1) Tenemos algún resultado de este tipo en [EGA4], Cor (3.3.5) p.44.

2) Podemos aplicar [Matsumara], Cor(ii) p.189 pero con los supuestos adicionales: $S$ es normal y $X$ localmente pura dimensión.

Gracias.

Answer 1

Estimado kaddar, aquí tienes una respuesta parcial.

Según un teorema de Douady, un mapa plano $f:X\to S$ entre espacios analíticos complejos es siempre abierta . Por lo tanto, si se supone que las fibras de $f$ se reducen y que su espacio reducido $S$ es realmente suave (es decir, es un colector), entonces $X$ se reduce efectivamente: esto se deduce de la proposición de la página 158 de la obra de Gerd Fischer Geometría analítica compleja (Springer, LNM 538, 1976).

Editar $\;$ Sobre la relación evocada entre plano y abierto, permítanme añadir lo siguiente. Es no es cierto que un morfismo abierto $f:X\to S$ de los espacios complejos es plana: el contraejemplo más sencillo es la inmersión de un punto simple en un punto doble, es decir, el morfismo de esquemas $Spec \;\mathbb C \to Spec \; \mathbb C[\epsilon ] \quad(\epsilon^2=0)$ visto de forma analítica. Sin embargo, si $X$ y $S$ son variedades complejas, entonces es es cierto que $f$ abierto implica $f$ plana (Fischer, misma página 158) y así, para los morfismos entre variedades se tiene la equivalencia fácil de recordar plano=abierto, que ayuda a entender la noción notoriamente poco intuitiva de planitud.

Answer 2

Esto es una consecuencia del siguiente resultado: si $A \to B$ es un homomorfismo local plano de anillos locales, $A$ y $B/\mathfrak{m}_AB$ se reducen, entonces $B$ se reduce. Teniendo en cuenta que reducido equivale a $R_0$ y $S_1$ Esto se deduce del Teorema 23.9 de la Teoría de Anillos Conmutativos de Matsumura.

No sé qué significa la segunda pregunta.

[Edito] Acabo de darme cuenta de que las hipótesis del teorema citado son en realidad más fuertes, de modo que implicaría el resultado para los esquemas pero no para los espacios analíticos, al menos no inmediatamente. Tengo que pensarlo un poco más.